习题十九 第二型曲线积分
一、填空题
1、 设L是有向曲线，以?L记与L方向相反的同一曲线，则
??LP(x,y)dx?Q(x,y)dy???P(x,y)dx?Q(x,y)dy。
L2、 设?的参数方程为x?3t,y?2t,z?t，取从点A(3,2,1)到B(0,0,0)一段，将对坐
标的曲线积分化为定积分计算，则
?ABP(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?
?[P(3t,2t,t)?3?Q(3t,2t,t)?2?R(3t,2t,t)]dt。
103、 把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分。若L为xoy面内沿直线从点(0,0)到
(1,2)，则?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?L?L[P(x,y)?15?Q(x,y)?25]ds；
若L为沿抛物线y?2x2从点(0,0)到(1,2)，则
?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?
L?[P(x,y)?L11?16x2?Q(x,y)?4x1?16x2]ds。
234、 把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分。若?为曲线x?t,y?t,z?t上相
应于t从0变到1的曲线弧，则
二、计算曲线积分
?Lxydx，其中L为x轴与上半圆周(x?a)2?y2?a2,(a?0)在第一象
限内所围区域的边界（按逆时针方向绕行）。
解：L?L1?L2，
?a?acost,L1:?(0?t??)y?asint,其中 ?L2:y?0(0?x?2a)所以
?xydx??LL1xydx??xydxL22a0??a(1?cost)?asint?(a?acost)?dt??0dt0???a[?sintdt??sintcostdt]003?2?2
???2a3三、计算曲线积分
(x?y)dx?(x?y)dy222L，其中为圆周x?y?a,(a?0)（按逆时22?Lx?y针方向绕行）。
解：L:x?acost,y?asint,0?t?2?
(x?y)dx?(x?y)dy?Lx2?y212??[(acost?asint)(?asint)?(acots?asint)acots]dt a2?012??2??a2dta0??2?四、计算曲线积分
?L(x2?2xy)dx?(y2?2xy)dy，其中L是抛物线y?x2上从点(?1,1)到点(1,1)的一段。
?y?x2,(?1?x?1) 解：L:?x?x,??(x?2xy)dx?(y??[(x?2x)?(x
?2?(x?4x)dxL123?1124022?2xy)dy?2x3)2x]dx
4??14153at3at2,y?(a?0)从t?0到五、计算曲线积分??ydx?xdy，其中L为曲线x?L1?t31?t3t?1的一段。
解：
??ydx?xdyL3at23at3at3at2??[??()??()?]dt01?t31?t31?t31?t31t22 ?9a?dt0(1?t3)21d(t3)?3a?0(1?t3)23?a2221六、计算曲线积分
?dx?dy?ydz，其中?为有向闭折线ABCA，这里A,B,C
?依次为点
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)。
解：??AB?BC?CA，
?y?1?x,AB:?(x:1?0)?z?0,
?ABdx?dy?ydz0
??[1?(?1)]dx1??2?y?1?z,BC:?(z:0?1)?x?0,?
BCdx?dy?ydz10
??[?(?1)?(1?z)]dz?32?z?1?x,CA:?(x:0?1)?y?0,
?CAdx?dy?ydz10
??dx?1??dx?dy?ydz??2?31?1? 22七、在椭圆x?acost,y?bsint上每一点P有作用力F，其大小等于从点P到椭圆中心
距离而方向朝着椭圆中心。
（1） 试求质点P沿椭圆位于第一象限中的弧从点A(a,0)移动到B(0,b)时力F所作的功。
（2） 求点P按正向走遍全部椭圆时力F所作的功。
解：设P的坐标为 ( x , y )，则OP?xi?yj,|OP|?所以F??OP??(xi?yj). （1）
x2?y2,
W1???xdx?ydyAB???2[?acost?(?asint)?bsint?bcost]dt0?
?(a?b)?2sintcostdt022a2?b2?.2
（2）
W2???xdx?ydyL??[?acost?(?asint)?bsint?bcost]dt02?
?(a2?b2)?sintcostdt02??0.
课余练习
1、 证明不等式|?P(x,y)dx?Q(x,y)dy|?kML其中k为曲线L的弧长，
M?maxP2(x,y)?Q2(x,y)。
(x,y)?L2、 利用上题结果估计积分IR?ydx?xdy，并证明limIR?0。 222?R???(x?xy?y)x2?y2?R23、 复习并写出上册中积分公式与积分运算规则。