∴∠ADB=∠ABD ∠CDB=∠ABD;
C 两角相加，∠ADC=∠ABC； D ∵BC=DC E\\F是中点
F ∴DE=BF；
∵AB=AD DE=BF E A
∠ADC=∠ABC
∴AE=AF。 证明： ∵BD⊥AC 33．如图，在四边形ABCD中，E是∴∠BDC=90° AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∵CE⊥AB 求证: ∠5=∠6． ∴∠ BEC=90 °
37.已知：如图, AC?BC于C , DE?AC于E , AD?AB于A , BC =AE．若AB = 5 ,求AD 的长？
A E B C D
∵AD⊥AB
DA1532E64CB
证明： 在△ADC，△ABC中 ∵AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA ∴△ADC≌△ABC（两角加一边）
∵AB=AD，BC=CD 在△DEC与△BEC中
∠BCA=∠DCA，CE=CE，BC=CD ∴△DEC≌△BEC（两边夹一角）
∴∠DEC=∠BEC
34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C
在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．
∵AD=DF
∴AC=DF ∵AB//DE ∴∠A=∠EDF 又∵BC//EF ∴∠F=∠BCA ∴△ABC≌△DEF（ASA）
35．已知：如图，AB=AC，BD?AC，CE?AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．
∴∠BDC=∠BEC=90°
∵AB=AC
∴∠DCB=∠EBC ∴BC=BC
∴Rt△BDC≌Rt△BEC（AAS)
∴BE=CD 36 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。 求证：DE=DF． A E F B D C 证明： ∵AD是∠BAC的平分线
∴∠EAD=∠FAD ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠BFD=∠CFD=90° ∴∠AED与∠AFD=90° 在△AED与△AFD中 ∠EAD=∠FAD AD=AD ∠AED=∠AFD ∴△AED≌△AFD（AAS） ∴AE=AF 在△AEO与△AFO中 ∠EAO=∠FAO
AO=AO AE=AF ∴△AEO≌△AFO（SAS） ∴∠AOE=∠AOF=90° ∴AD⊥EF
∴∠BAC=∠ADE
又∵AC⊥BC于C，DE⊥AC于E 根据三角形角度之和等于180度 ∴∠ABC=∠DAE
∵BC=AE，△ABC≌△DAE（ASA） ∴AD=AB=5
38．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC
AEFBMC
证明： ∵AB=AC ∴∠B=∠C
∵ME⊥AB，MF⊥AC ∴∠BEM=∠CFM=90° 在△BME和△CMF中
∵ ∠B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF
∴△BME≌△CMF（AAS） ∴MB=MC．
40．在△ABC中，?ACB?90?，
AC?BC，直线MN经过点C，且AD?MN于D，BE?MN于
E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1
的位置时，求证： ①?ADC≌
?CEB；②DE?AD?BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
（1）
①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°， ∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°． ∴∠CAD=∠BCE． ∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB． ②∵△ADC≌△CEB， ∴CE=AD，CD=BE． ∴DE=CE+CD=AD+BE．
（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CBE． 又∵AC=BC，
∴△ACD≌△CBE． ∴CE=AD，CD=BE． ∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE
41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF
F E A M B C
（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC， ∴∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC， 即∠EAC=∠BAF， 在△ABF和△AEC中， ∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，
∴△ABF≌△AEC（SAS）， ∴EC=BF；
（2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC， ∴∠AEC=∠ABF，
∵AE⊥AB， ∴∠BAE=90°， ∴∠AEC+∠
ADE=90°，
∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等）， ∴∠ABF+∠BDM=90°，
在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°， ∴EC⊥BF．
42．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。
NA43FE1M2BC 证明：
（1）
∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN ∵BM=AC，CN=AB ∴△ABM≌△NAC ∴AM=AN
（2）
∵△ABM≌△NAC ∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90° 即∠MAN=90° ∴AM⊥AN
43．如图,已知∠A=∠
D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC
∥EF
在△ABF和△CDE中 ,AB=DE ∠A=∠D AF=CD
∴△ABF≡△CDE（边角边） ∴FB=CE
在四边形BCEF中 FB=CE BC=EF
∴四边形BCEF是平行四边形 ∴BC‖EF
44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由
在AB上取点N ,使得AN=AC ∵∠CAE=∠EAN ∴AE为公共,
∴△CAE≌△EAN ∴∠ANE=∠ACE 又∵AC平行BD
∴∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180 ∴∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN ∵BE为公共边 ∴△EBN≌△EBD ∴BD=BN
∴AB=AN+BN=AC+BD 45、（10分） 如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．
OB=OC ∵AB=DC,AC=DB，BC=BC ∠AOB=∠DOC ∴△ABC≌△DCB， △AOB≌△DOC ∴∠ABC=∠DCB ∴AO=DO 又∵ BE=CE，AB=DC
证明：
∵AD是△ABC的中线 BD=CD
∵DF=DE（已知） ∠BDE=∠FDC ∴△BDE≌△FDC 则∠EBD=∠FCD
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）。
46、(10分)已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE?BF． 求证：AB∥CD． D
C
F E A
B
证明：
∵DE⊥AC，BF⊥AC ∴∠CED=∠AFB=90o 又∵AB=CD，BF=DE
∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE（HL） ∴AF=CE
∠BAF=∠DCE ∴AB//CD
47、(10分)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD
AD.1324BC
∵,∠3=∠4 ∴OB=OC
在△AOB和△DOC中 ∠1=∠2
AO+OC=DO+OB AC=DB 在△ACB和△DBC中 AC=DB ,∠3=∠4 BC=CB △ACB≌△DBC ∴AB=CD 48、 (10分)如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜
想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.
C
D
A E B CE>DE。当∠AEB越小，则DE越小。 证明： 过D作AE平行线与AC交于F，连接FB 由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形 ，且△DFB为等腰三
角形。
RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠
AEB<90°
∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°
△DFB中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°
RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF
<45°
∠AFB=90°-∠FBA>45°
∴AB>AF
∵AB=CE AF=DE
∴CE>DE
49、 (10分)如图，已知AB＝DC，
AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE.
A D B E C ∴△ABE≌△DCE ∴AE=DE 50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE． C F D A E B 图9 作CG⊥AB,交AD于H, 则∠ACH=45o,∠BCH=45o
∵∠CAH=90o-∠CDA, ∠BCE=90o-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE 又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45o ∴△ACH≌△CBE, ∴CH=BE 又∵∠DCH=∠B=45o, CD=DB ∴△CFD≌△BED ∴∠ADC=∠BDE