【答案】解：（1）∵PG平分∠EPF，∴∠DPO=∠BPO。
∵OA∥PE，∴∠DPO=∠POA。∴∠BPO=∠POA。∴AP=AO。 （2）过点O作OH⊥AB于点H，则AH=HB=∵tan∠OPB=
1AB， 2OH1?，∴PH=2OH。 PH2设OH=x，则PH=2x，
由（1）可知PA=OA=10，∴AH=PH﹣PA=2x﹣10。 ∵AH+OH=OA，∴（2x﹣10）+x=10，解得x1=0（不
合题意，舍去），x2=8。
∴AH=6，∴AB=2AH=12。
（3）P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B。
【考点】垂径定理，勾股定理，菱形的判定，等腰梯形的判定，锐角三角函数的定义，解一元二次方程。
【分析】（1）由已知条件“射线PG平分∠EPF”求得∠DPO=∠BPO；然后根据平行线的性质，两直线OA∥PE，内错角∠DPO=∠POA；最后由等量代换知∠BPO=∠POA，从而根据等角对等边证明AP=AO。
（2）设OH=x，则PH=2x．作辅助线OH（“过点O作OH⊥AB于点H”），根据垂径定理知AH=HB=
2
2
2
2
2
2
11AB；又有已知条件“tan∠OPB=”求得PH=2OH；然后利用（1）的结果及22勾股定理列出关于x的一元二次方程，解方程即可。
（3）根据菱形的判定、等腰梯形的判定定理填空。
2.（浙江台州12分）如图1，AD和AE分别是△ABC的BC边上的高和中线，点D是垂足，
点E是
DE
BC的中点，规定：λA＝．特别地，当点D、E重合时，规定：λA＝0．另外，对λB、
BE
λC作类似的 规定．
(1)如图2，在△ABC中，∠C＝90o，∠A＝30o，求λA、λC；
(2)在每个小正方形边长均为1的4×4的方格纸上，画一个△ABC，使其顶点在格点(格点即每个小
正方形的顶点)上，且λA＝2，面积也为2；
(3)判断下列三个命题的真假(真命题打“?”，假命题打“×”)： ①若△ABC中λA＜1，则△ABC为锐角三角形；【 】 ②若△ABC中λA＝1，则△ABC为锐角三角形；【 】 ③若△ABC中λA＞1，则△ABC为锐角三角形．【 】
【答案】解：（1）如图，作BC边上的中线AD，又AC⊥BC。 CD
∴λA＝ ＝1 。
BD
过点C分别作AB边上的高CE和中线CF， ∵∠ACB＝90o， ∴AF＝CF。
∴∠ACF＝∠CAF＝30o。 ∴∠CFE＝60o。 EFEF1
∴λC＝ ＝ ＝cos60o＝ 。
AFCF2
（2）画图如下：
（3）×；√；√ 。
【考点】解直角三角形，三角形的角平分线、中线和高，作图（应用与设计作图），真假命题的定义。
【分析】（1）根据直角三角形斜边中线、高的特点进行转换即可得出答案。
（2）根据题目要求即可画出图象。 （3）根据真假命题的定义即可得出答案。
3.（浙江省12分）如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA=EC，延长EC到P，连结PB，使PB=PE．
(1) 在以下5个结论中：一定成立的是 （只需将结论的代号填入题中的横线上）①弧AC=弧BC；②OF=CF；③BF=AF；④AC=AE?AB；⑤PB是⊙O的切线．
(2) 若⊙O的半径为8cm，AE:EF=2:1，求弓形ACB的面积．
2
【答案】解：（1）①，③，④，⑤；
（2）设EF=x，则AE=EC=PC=2x，PB=4x，且BF=3x，BE=4x，
∴PB=BE=PB 。∴△PBE是等边三角形 。 ∴∠PBE=60o。 ∵ EA=EC， ∴∠CAE=∠ACE
。∴∠PEB=∠CAE+∠ACE= 2∠CAE=∠BOC=60o。 ∴∠BOA=120o 。 ∴AB=83, OF=4。
∵ 扇形OAB的面积=
120???82360?643?， △OAB的面积=
12?4?83?163， ∴弓形ACB的面积=643??163。 【考点】等弦对等弧，弦径定理，相似三角形的判定和性质，圆切线的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形和三角形的面积。
【分析】（1）①由△ACF≌△BCF可得AC=BC，根据等弦对等弧可得弧AC=弧BC； ②OF=CF不一定成立； ③由弦径定理，得BF=AF；
④由△ACE∽△ABC可得
ACAB?AEAC，∴AC2
=AE?AB； ⑤可证PB⊥OB，即PB是⊙O的切线。
（2）求弓形ACB的面积，只要求出扇形OAB的面积和△OAB的面积的面积即可。 4.（辽宁大连9分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，BE⊥CD，垂足为E，连接AC、BC．
⑴△ABC的形状是______________，理由是_________________； ⑵求证：BC平分∠ABE；
⑶若∠A＝60°，OA＝2，求CE的长．
【答案】解：（1）直角三角形，直径所对的圆周角是直角。
（2）证明：∵∠ACB是直角，BE⊥CD，CD是⊙O的切线切点
为C，
∴∠OCB=∠EBC。
又∵且OC=OB，BC平分∠ABE；
∴∠OCB=∠EBC，即BC平分∠ABE。 （3）∵OA=2，∴AB=4，
在Rt△ABC中，∠A=60°，AB=4，∴BC=AB?sinA?4?sin600?4?∴CE= 3。
【考点】切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数。 【分析】（1）因为直径所对的圆周角是直角，所以△ABC是直角三角形。
（2）由∠ACB是直角，BE⊥CD，且OC=OB，可证BC平分∠ABE。
（3）在Rt△ABC中，应用锐角三角函数可求得BC=?23，，所以在直角三角形CBE中，CE=
3 ?23。21BC= 3。 25．（辽宁丹东10分）已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D． （1）tan ∠ABC=
3，AC=6．求线段BD的长． 4 （2）若点E为线段BC的中点，连接DE．
求证：DE是⊙O的切线． 【答案】解：（1）∵tan∠ABC＝3，AC＝6，∴BC＝8。由勾股定理得：AB＝10。 4∵∠ACB＝90°，AC为直径，∴BC是圆O的切线。 ∵BDA是圆的割线，∴BC＝BD×AB，∴BD＝6.4。 ∴线段BD的长是6.4。 （2）证明：连接OD、CD， ∵AC为圆O的直径，∴∠CDA＝90°。∴∠BDC＝180°－90°＝90°。 ∵E为BC的中点，∴DE＝21BC＝CE。∴∠ECD＝∠EDC。 2∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC。 ∵∠ECD+∠DCO＝90°，∴∠EDC+∠ODC＝90°。∴∠ODE＝90°。 ∴DE是⊙O的切线。 【考点】锐角三角函数的定义，切线的判定，勾股定理，圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质。
【分析】（1）根据锐角三角函数和勾股定理求出BC、AB，根据切线的性质求出BD即可。
（2）连接OD、CD，根据圆周角定理求出∠CDA＝∠BDC＝90°，根据直角三角形
的性质和等腰三角形的性质求出∠ECD＝∠EDC，∠OCD＝∠ODC即可。
6.（广西河池10分）)如图1，在△OAB中，∠OAB＝90o，∠AOB＝30o，OB＝8．以OB为一
边，在
△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
(1)求点B的坐标；
(2)求证：四边形ABCE是平行四边形；
(3)如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
【答案】解：(1)∵在△OAB中，∠OAB＝90o，∠AOB＝30o，OB＝8， ∴OA＝43，AB＝4。∴点B的坐标为（43，4）。 （2）∵∠OAB＝90o，∴AB⊥x轴，∴AB∥EC。
又∵△OBC是等边三角形，∴OC＝OB＝8。
又∵D是OB的中点，即AD是Rt△OAB斜边上的中线，
∴AD＝OD，∴∠OAD＝∠AOD＝30o，∴OE＝4。∴EC＝OC－OE＝4。 ∴AB＝EC。∴四边形ABCE是平行四边形。
（3）设OG＝x，则由折叠对称的性质，得GA＝GC＝8－x。 在
Rt△OAG
2222中，由勾股定理，得GA?OA?OG，即
?8?x?2??4?3?x，
2 解得，x?1。
∴OG的长为1。
【考点】解直角三角形，特殊角的三角函数，平行四边形的判定，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，折叠对称的性质，勾股定理。 【分析】(1) 应用特殊角的三角函数解Rt△OAB，即可。
（2）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，一方面由∠OAB＝90o