考点五：相似三角形的实际应用 个性化辅导讲义 例1：某市经济开发区建有B，C，D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB?CD?900米，AD?BC?1700米，AE?1500米．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，BC两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC?500米．若修建自来水主管道到各工厂的自来水管道的费用由各厂负担，每米造价800元． （1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出； （2）求出各厂所修建自来水管道的最低造价各是多少元？ 分析：要使修建自来水管道的造价最低，则每个厂铺设的管道应最短，根据垂线段最短，可知三个厂家应分别沿垂直于AN的方向铺设．要计算各厂所修建自来水管道的最低造价，可以分别求出铺设管道的长度． 解：（1）如图1，过B，C，D分别作AN的垂线段 BH，CF，DG，交AN于H，F，G，BH，CF，DG 即为所求的造价最低的管道路线． （2）由△ABE∽△CFE，得CFCE?，所以 ABAECE?AB500?900??300（米）． AE1500CFCEBE?CF1200?300???720（米） 由△BHE∽△CFE，得，所以BH?， BHBECE500ABAE900?1700??1020（米） 由△ABE∽△DGA，得，所以DG?． DGAD1500 所以B，C，D三厂所建自来水管道的最低造价分别是720?800?576000（元），300?800?240000（元），1020?800?816000（元）． CF? 例2：如图2，在水平的桌面上两个“E”，当点P，P2，O在一直线上时，在点O处用①号“E”测1得的视力与用②号“E”测得的视力相同． （1）图中b1，b2，l1，l2满足怎样的关系式？ （2）若b1?3.2cm，b2?2cm，①号“E”的测试距离l1?8m，要使测得的视力相同，则②号“E”的测试距离l2应为多少？ 6
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个性化辅导讲义 分析：本题是一道以生活实际为素材的探索型试题，解决问题的关键是从实际问题中构建数学模型．从已知图形可得PD11∽△P2D2O，借助相似三角形的特征列出比例11∥P2D2，由此可得△PDO式可解决问题． 解：（1）因为PD11∽△P2D2O，所以11∥P2D2，所以△PDOPDDObl11?1，即1?1． P2D2D2Ob2l2 （2）因为b1l1?，且b1?3.2cm，b2?2cm，l1?8m， b2l2 所以3.28，l2?5m． ?（注：可不进行单位换算）2l2 即②号“E”的测试距离是l2?5m． 巩固作业 1.若△ABC∽△DEF,△ABC的面积为81cm2,△DEF的面积为36cm2,且AB=12cm,则 DE= cm 2.等腰三角形ABC和DEF相似，其相似比为3：4，则它们底边上对应高线的比为（ ）A、3：4 B、4：3 C、1：2 D、2：1 3.如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图. 已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米. 若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为 （ -） A.、0.36?米2 B、0.81?米2 C、2?米2 D、3.24?米2 4.如图，分别取等边三角形ABC各边的中点D、E、F，得△DEF.若△ABC的边长为a. （1）△DEF与△ABC相似吗？如果相似，相似比是多少？ （2）分别求出这两个三角形的面积. （3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？ 5.如图，在ΔABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x.（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）当[来源:Z。xx。k.Com][来源:学#科#网][来源:学科网] S?BCQS?ABCS?BPQ1的值； ?，求S?ABC37 杭州龙文教育科技有限公司
个性化辅导讲义 6.在△ABC中，AE∶EB=1 ∶2，EF∥BC，AD∥BC交CE的延长线于D，求S△AEF∶S△BCE的值. 7.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm， 高AD=80mm， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上， （1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ P （2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？ 答案：1、8cm 2、A 3、B 4、（1）相似.B Q D M C A E N 132 32 （2）aa (3)面积之比的平方等于2416相似比 5、（1）x= 30s (2)721240480 6 、 7、（1）48 mm （2）宽是mm，长mm. 9677西湖城北三墩校区：唐永海老师
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