第五章 二元一次方程组
2. 求解二元一次方程组（第2课时）
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：在学习本节之前，学生已经掌握了有理数、合并同类项、去括号等法则，能熟练的进行简单的整式的加、减法运算整式的运算，知道方程的解的意义，能熟练的求解一元一次方程，了解了二元一次方程以及解的意义、二元一次方程组及其解的意义，能通过代人消元法求解二元一次方程组.
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了列整式、列一元一次方程并求解，列二元一次方程组解决了一些简单的现实问题，感受到了方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，通过解一元一次方程和用代入消元法解二元一次方程组获得了解二元一次方程的基本经验和基本技能；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.
二、教学任务分析
教科书基于学生对前面解一元一次方程和用代入消元法解二元一次方程组基础之上，提出了本课的具体学习任务：会用加减消元法解二元一次方程组，了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体现数学研究中“化未知为已知”的化归思想.
《课程标准（2011年版）》把方程与方程组的重点放在解法和应用上，特别强调体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，如何解方程与方程组时方程与方程组教学的主体和重点.对于二元一次方程组来讲，强调“消元”的思想和方法，应是贯穿于始终的一条主线，通过“消元”，将二元一次方程转化为一元一次方程实现求解的目的，体现了化繁为简，以简驭繁的基本策略，对促进了学生理性思维的发展具有重要意义.通过第一课时是学习，学生已经能够解一般的二元一次方程组，但对于有些方程用代人消元法解可能比较繁杂，用加减消元法要简单一些，同时加减消元法在学生将来的矩阵运算中有广泛的应用。因此这个课时就进一步学习二元一次方程组的加减消元法.
加减消元法是解二元一次方程组的基本方法之一，它要求两个方程中必须有
某一个未知数的系数的绝对值相等（或利用等式的基本性质在方程两边同时乘以一个适当的不为0的数或式，使两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等），然后利用等式的基本性质在方程两边同时相加或相减消元.
为此，本节课的教学目标是： (1)会用加减消元法解二元一次方程组.
(2)进一步理解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.
(3) 选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析能力. 本节课的教学重点是：
用加减消元法解二元一次方程组. 本节课的教学难点是：
在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.
三、教学过程设计
本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：讲授新知；第三环节：巩固新知；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业.
第一环节：情境引入
内容：巩固练习，在练习中发现新的解决方法
怎样解下面的二元一次方程组呢？（学生在练习本上做，教师巡视、引导、解疑，注意发现学生在解答过程中出现的新的想法，可以让用不同方法解题的学生将他们的方法板演在黑板上，完后进行评析，并为加减消元法的出现铺路.）
?3x?5y?21① ??2x?5y??11②学生可能的解答方案1：
5y?11解1：把②变形，得：x?, ③
2把③代入①，得：3?解得：y?3.
把y?3代入②，得：x?2.
5y?11?5y?21, 2?x?2所以方程组的解为?.
?y?3学生可能的解答方案2： 解2：由②得5y?2x?11, ③
把5y当做整体将③代入①，得：3x??2x?11??21, 解得：x?2.
把x?2代入③，得：y?3.
?x?2所以方程组的解为?.
?y?3（此种解法体现了整体的思想）
学生可能的解答方案3：（观察发现：两个方程中一个含有5y，而另一个是
?5y，两者互为相反数）
解3：根据等式的基本性质 方程①+方程②得：5x?10, 解得：x?2,
把x?2代入①，解得：y?3, 所以方程组的解为??x?2.
?y?3通过上面的练习发现，同学们对代入消元法都掌握得很好了，基本上都能够按要求解出二元一次方程组的解（如方案1），可是也有同学发现（方案2）的解法比（方案1）的解法简单，他是将5y作为一个整体代入消元，依然体现了代入法的核心是代入“消元”，通过“消元”，使“二元”转化为“一元”，从而使问题得以解决，那么（方案3）的解法又如何？它达到“消元”的目的了吗?
（留些时间给学生观察，注意引导学生观察方程中某一未知数的系数，如x的系数或y的系数）
引导学生发现方程①和②中的5y和?5y互为相反数，根据相反数的和为零（方案3）将方程①和②的左右两边相加，然后根据等式的基本性质消去了未知
数y，得到了一个关于x的一元一次方程，从而实现了化“二元”为“一元”的目的.
这就是我们这节课要学习的二元一次方程组的解法中的第二种方法——加减消元法.
目的：在练习的过程中学会思考、分析，通过思考自然地得出我们要研究和解决的问题.
设计效果：通过学生练习、对比、讨论，既巩固了已学的用代入法解二元一次方程组的知识，又在此过程中发现了新的解二元一次方程组的方法——加减消元法.
说明：如果班级学生不能发现方法3，教师可以适当引导，如在方法二中，我们直接解出5y，代入另一式子从而消去一个未知数，是否可以不解出直接消去这个未知数呢？两个式子中y的系数有什么关系？能否通过等式性质进行加减直接消去这个未知数呢？
第二环节：讲授新知 内容1：（教师板书课题）
下面我们就用刚才的方法解下面的二元一次方程组.（教师规范表达解答过程，为学生作出示范）
例1 解下列二元一次方程组（若学生先前的环节接受得好，可以让学生独立完成，教师再跟进讲授）
?2x?5y?7①
(1)?
?2x?3y??1②
分析：观察到方程①、②中未知数x的系数相等，可以利用两个方程相减消去未知数x.
解：②-①，得：8y??8, 解得：y??1, 把y??1代入①，得：2x?5?7,
解得：x?1,
?x?1所以方程组的解为?.
?y??1 (解答完本题后，口算检验，让学生养成进行检验的习惯，同时教师需强调以下两点：
(1)注意解此题的易错点是②-①时是?2x?3y???2x?5y???1?7，方程左边去括号时注意符号.另外解题时，①-②或②-①都可以消去未知数x，不过在①-②得到的方程中，y的系数是负数，所以在上面的解法中选择②-①；
(2)把y??1代入①或②，最后结果是一样的，但我们通常的作法是将所求出的一个未知数的值代入系数较简单的方程中求出另一个未知数的值.
内容2：过手训练：用加减消元法解下列方程组：
?5x?2y?9?3x?y?8（1）?， （2）?.
?5x?y?3?2x?y?7目的：由学生做练习，体会加减消元法的基本特点，熟悉加减消元法的基本步骤，提升学生用加减消元法解二元一次方程组的基本技能，积累解二元一次方程的活动经验.
设计效果：学生都能迅速、正确的表述解答过程，尝到解方程组成功的快乐，激发了学会解二元一次方程组的信心和热情，为后面问题的处理打下了心理基础.
师生一起分析上面的解答过程，归纳出下面的一些规律：
在方程组的两个方程中，若某个未知数的系数是相反数，则可直接把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；若某个未知数的系数相等，可直接把这两个方程的两边分别相减，消去这个未知数得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法）
?2x?3y?12① 内容3：例2 解方程组 ?
② ?3x?4y?17（先留一定的时间让学生观察此方程组，让学生说明自己观察到方程有什么特点，能不能自己解决此方程组，用什么方法解决？如学生提出用代入消元法，可以让学生先按此法完成，然后再问能不能用刚学过的加减消元法解决？让学生讨论尝试，学生可能得到的结论如下）