第二十四讲 与圆有关的计算
1．如图，∠ACB＝60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为( C )
A．2π B．4π C．23 D．4
2．已知圆锥的母线长为6 cm，底面圆的半径为3 cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角是( D )
A．30° B．60° C．90° D．180°
3．如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是( A )
A.π B．13π C．25π D．252
252
,(第3题图))
32，BC＝6，则⊙O的半径是( D )
,(第4题图))
4．如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC.已知AE＝22，AC＝
A．3 B．4 C．43 D．23
5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D，E，则AD为( B )
A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．1
,(第5题图)) ,(第6题图))
︵
6．如图，在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作BAC，如图所示．若AB＝π
4，AC＝2，S1－S2＝，则S3－S4的值是( D )
4
A.
29π23π11π5π
B. C. D. 4444
7．(2017乐山中考)如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25 m，BD＝1.5 m，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是( B )
A．2 m B．2.5 m
1
C．2.4 m D．2.1 m
,(第7题图)) ,(第8题图))
8．(2017自贡中考)如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB＝AC，∠ABC＝30°，BD是⊙O的直径，如果CD＝43
，则AD＝__4__． 3
9．(2017西宁中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，则∠DCE＝__60__°.
,(第9题图)) ,(第10题图))
10．(2017永州中考)如图，这是某同学用纸板做成的一个底面直径为10 cm，高为12 cm的无底圆锥形玩具(接缝忽略不计)，则做这个玩具所需纸板的面积是__65π__(结果保留π)cm.
11．(2017宜宾中考)如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE＝2，则EG的长是__5－1__．
2
,(第11题图)) ,(第12题图))
︵︵︵
12．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF?叫做“正三角形的渐开线”，其中CD，DE，EF，?的圆心按点A，B，C循环．如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是__4π__．(结果保留π)
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA＝2.
(1)求线段EC的长； (2)求图中阴影部分的面积．
解：(1)∵在矩形ABCD中，AB＝2DA，DA＝2， ∴AB＝AE＝4，
∴DE＝AE－AD＝23， ∴EC＝CD－DE＝4－23； AD1
(2)∵sin∠DEA＝＝，
AE2
2
2
2
∴∠DEA＝30°，∴∠EAB＝30°，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形FAB－S△DAE－S扇形EAB 90π×4130π×48＝－×2×23－＝π－23.
36023603
14．(2017临沂中考模拟)如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，过点A的切线与CB的延长线交于点E. (1)求证：EA＝EB·EC；
4
(2)若EA＝AC，cos∠EAB＝，AE＝12，求⊙O的半径．
22
2
5
解：(1)∵AE是切线， ∴∠EAB＝∠C. ∵∠E是公共角， ∴△BAE∽△ACE， ∴
EAEC＝EBEA
， ∴EA2
＝EB·EC；
(2)连结BD，过点B作BH⊥AE于点H. ∵EA＝AC，∴∠E＝∠C. ∵∠EAB＝∠C，∴∠EAB＝∠E， ∴AB＝EB，∴AH＝EH＝11
2AE＝2×12＝6.
∵cos∠EAB＝4
5，
∴cosE＝4
5，
∴在Rt△BEH中，BE＝EH
cosE＝152
， ∴AB＝152
. ∵AD是直径， ∴∠ABD＝90°. ∵∠D＝∠C, ∴cosD＝4
5，
∴sinD＝35， ∴AD＝ABsinD＝25
2，
∴⊙O的半径为25
4
.
3
︵
15．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是AD的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CF，BC于点P，Q，连结AC.给出下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心；④AP·AD＝CQ·CB.其中正确的是__②③④__．(写出所有正确结论的序号)
16．如图，E是长方形ABCD的边AB上的点，EF⊥DE交BC于点F. (1)求证：△ADE∽△BEF；
(2)设点H是ED上一点，以EH为直径作⊙O，DF与⊙O相切于点G，若DH＝OH＝3，求图中阴影部分的面积(结果保留到小数点后面第一位，3≈1.73，π≈3.14)．
解：(1)∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝90°.∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90°，
∴∠AED＝90°－∠BEF＝∠EFB， ∴△ADE∽△BEF；
(2) ∵DF与⊙O相切于点G， ∴OG⊥DG, ∴∠DGO＝90°. 1
∵DH＝OH＝OG，∴OG＝DO，
2∴∠ODG＝30°， ∴∠GOE＝120°， 120π×3
∴S扇形OEG＝＝3π.
360
DGDG3
在Rt△DGO中，cos∠ODG＝＝＝，
DO62∴DG＝33. 在Rt△DEF中，
2
tan∠EDF＝＝＝∴EF＝33，
EFEF
DE93， 3
11273
∴S△DEF＝DE·EF＝×9×33＝，
222
4
1193
∴S△DGO＝DG·GO＝×33×3＝，
222∴S阴影＝S△DEF－S△DGO－S扇形OEG 27393
＝－－3π
22
≈9×1.73－3×3.14≈6.15≈6.2. ∴图中阴影部分的面积约为6.2.
5