专题讲练2 圆与全等
【例1】如图，在△ABC中，∠BAC=900，BM平分∠ABC交AC于M，以A为圆心，AM
为半径作⊙A交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交⊙A于P、K两点，
K作MT⊥BC于T.
（1）求证：AK=MT； （2）求证：AD⊥BC； A（3）当AK=BD时，求证：AC=BK. M证：(1)证ΔABM≌ΔTBM，MT＝AM＝AK。 (2)证∠BMT＝∠BMA＝∠ANM，MT//AD。 (3)ΔABD≌?MTC?CM＝AB?BK＝AC
PBNDTC
【例2】如图，AB为⊙O的直径，Q在弦BC的延长线上，且∠PCQ=∠PCA．
（1）求证：PA=PB
QPM AC?BC（2）求的值.
PC证. (1)∠PCA＝∠PBA＝45°＝∠PAB。
(2)方法一：在AC上截AM＝BC，证ΔPAM≌ΔPBC，ΔPMC为等腰直角三角形.
AC?BCMC??2 ∴
PCPC方法二：作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，
证ΔPEA≌ΔPBF，AC－BC＝CE+CF＝2CE，2CE?2. PCCAOB 1．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC=300，CD是⊙O的切线， ED⊥AB于F. B（1）判断△DCE的形状；
3?1（2）设⊙O的半径为1，且OF=，求证：△DCE≌△OCB．
2证：(1)∠A＝∠OCA＝60°，∠OCD＝90°，∠DCE＝30°＝∠E，∴ΔDCE为等腰Δ。
(2)证AF＝OA+OF＝FODCE3?1,AE?2AF?3?1,CE?AE?AC?3?BC， 2证∠B＝∠OCB＝∠DCE＝∠E＝30°，∴ΔDCE≌ΔOCB。
A
2、如图，在⊙O中，∠BAC=1200，弦PA平分∠BAC． （1）求证：△PBC为正三角形； （2）求
证：(1)略
(2)
AB?AC?1， PA方法一：延长AB到M，使BM＝AC，证ΔACP≌ΔMBP，ΔPMA为等边Δ。 方法二：作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，证AB+AC＝AE+AF＝2AE＝AP。
AM BOCAB?AC的值. PAPCBNAM
3．如图，已知：弦AB⊥CE，N在弦MA的延长线上，且∠CAN=∠CAB， AD=2，求AB－AM的值.
F ODE证：连CB．CM、BM，∠CAB＝∠CMB，∠CAN＝∠AMC+∠ACM＝∠ABC+∠ABM＝∠CBM，
∴∠CBM＝∠CMB，CB＝CM。
方法一：在AB上截BF＝AM，证ΔBCF≌ΔACM，AB－AM＝AF＝2AD＝4。 方法二：作CG⊥AM于G，证ΔBCD≌ΔCMG，AB－AM＝AD+AG＝2AD＝4。
4．如图，⊙O1交x轴于A．B两点，交y轴于C．D两点，圆心O1在
y轴上，过C点，作CM⊥弦AE，垂足为M，Q在BE的延长线上. （1）求证∠QEC=∠CEA （2）问
yCMO1AODBxQ AE?BE的值是否发生变化？请说明理由. EME证：(1)略
（2）作CN⊥BQ于N，证CA＝CB，ΔCAM≌ΔCBN，CM＝CN。
AE?BEE?MEN2EM证AM＝BN，EM＝EN， ???2
EMEMEM本题也可在AE上截AF＝BE，证ΔCAF≌ΔBCE.
5．如图，A（0，4），F（－2，0），点O1在x轴上，⊙O1经过A、F两点，与x轴正半轴交于B点，交y轴负半轴于C点.过A、O、B三点作⊙O2. （1）求⊙O2的半径.
AP?PE（2）点E在⊙O1上，连AE，交⊙O2于P点，连CE，求的值.
CE解：(1)设⊙O1的半径为R，在ΔAOO1中，R2?42?(R?2)2，R＝5，则OB＝8，
AB＝OB2?OA2?45，故⊙O2半径为25。
(2)证BA＝BC，在AE上截AM＝CE，证ΔAMB≌ΔCEB，BM＝BE，
AP?PEAM??1 证∠APB＝∠AOB＝90°，PM＝PE ，∴
PECEyAO2BxM FOPCO1
E