x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 ?x(1)若y对x呈线性相关关系，求出y关于x的线性回归方程y＝b?； ＋a(2)估计使用年限为10年时，维修费用为多少？
【解析】(1)因为?xiyi＝112.3，?x2i＝4＋9＋16＋25＋36＝90，
i?1i?155且x＝4，y＝5，n＝5，
112.3－5×4×512.3??＝5－1.23×所以b＝＝10＝1.23，a4＝0.08， 90－5×16
所以回归直线方程为y＝1.23x＋0.08. (2)当x＝10时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38，
所以估计当使用10年时，维修费用约为12.38万元. 【点拨】当x与y呈线性相关关系时，可直接求出回归直线方程，再利用回归直线方程进行计算和预测.
【变式训练1】某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)有如下几组样本数据.
x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 据相关性检验，y与x具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线的斜率为0.7，那么y关于x的回归直线方程是 .
?＝0.7x＋a过点(x，y)，则【解析】先求得x＝4.5，y＝3.5，由y?＝0.7x＋0.35. a＝0.35，所以回归直线方程是y题型二 独立性检验
【例2】研究小麦种子经灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到数据如下表所示： 种子灭菌 种子未灭菌 合计 黑穗病 26 184 210 无黑穗病 50 200 250 合计 76 384 460 试按照原试验目的作统计分析推断. 【解析】由列联表得：
a＝26，b＝184，c＝50，d＝200，a＋b＝210，c＋d＝250，a＋c＝76，b＋d＝384，n＝460.
22
n(ad－bc)460×(26×200－184×50)
所以K2＝＝210×250×76×384(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)≈4.804，
由于K2≈4.804＞3.841，
所以有95%的把握认为种子灭菌与否与小麦发生黑穗病是有关
系的.
【变式训练2】(2010东北三省三校模拟)某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽出20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2的列联表，根据列联表的数据，可以有 %的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.
超重 不超重 合计 偏高 4 1 5 不偏高 3 12 15 合计 7 13 20 附：独立性检验临界值表 P(K2≥k0) 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 5.024 6.635 7.879 10.828 (独立性检验随机变量K2值的计算公式：K2＝n(ad－bc)2
) (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
【解析】由表可得a＋b＝5，c＋d＝15，a＋c＝7，b＋d＝13，ad＝48，bc＝3，n＝20，运用独立性检验随机变量K2值的计算公式得
2
20×(48－3)540K2＝5×＝15×7×1391≈5.934，
由于K2≈5.934＞5.024，所以有97.5%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.
总结提高
1.在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手. 2.样本的随机性导致由线性回归方程所作出的预报也具有随机性.
第十四章 推理与证明
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考试要求 1.了解合情推理的含义. 2.能利用归纳与类比等进行简单的推理. 3.体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 4.了解演绎推理的重要性. 5.掌握演绎推理的基本模式：“三段论”. 6.能运用演绎推理进行简单的推理. 7.了解演绎推理、合情推理的联系与区别. 8.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法. 9.了解分析法与综合法的思维过程、特点. 10.了解反证法是间接证明的一种基本方法及反证法的思维过程、特点. 11.了解数学归纳法的原理. 12.能用数学归纳法证明一些简单的与自然数有关的数学命题. 重难点击 本章重点：1.利用归纳与类比进行推理；2.利用“三段论”进行推理与证明；3.运用直接证明(分析法、综合法)与间接证明(反证法)的方法证明一些简单的命题；4.数学归纳法的基本思想与证明步骤；运用数学归纳法证明与自然数n(n∈N*)有关的数学命题. 本章难点：1.利用归纳与类比的推理来发现结论并形成猜想命题；2.根据综合法、分析法及反证法的思维过程与特点选取适当的证明方法证明命题；3.理解数学归纳法的思维实质，特别是在第二个步骤要根据归纳假设进行推理与证明. 命题展望 “推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.本章要求考生通过对已有知识的回顾与总结，进一步体会直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等数学思维过程以及合情推理、演绎推理之间的联系与差异，体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法. 本章是新课程考纲中新增的内容，考查的范围宽，内容多，涉及数学知识的方方面面，与旧考纲相比，增加了合情推理等知识点，这为创新性试题的命制提供了空间. 知识网络
14.1 合情推理与演绎推理
典例精析
题型一 运用归纳推理发现一般性结论
【例1】 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假.
3222
sin15°＋sin75°＋sin135°＝2；
3
sin230°＋sin290°＋sin2150°＝2；
3222
sin45°＋sin105°＋sin165°＝2；
3
sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝2. 3222
【解析】猜想：sin(α－60°)＋sinα＋sin(α＋60°)＝2. 左边＝(sin αcos 60°－cos αsin 60°)2＋sin2α＋(sin αcos 60°＋cos
32322
αsin 60°)＝2(sinα＋cosα)＝2＝右边.
【点拨】先猜后证是一种常见题型；归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”(周期性).
【变式训练1】设直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有a＋b＜c＋h成立，某同学通过类比得到如下四个结论：
①a2＋b2＞c2＋h2；②a3＋b3＜c3＋h3；③a4＋b4＜c4＋h4；④a5＋b5＞c5＋h5.
其中正确结论的序号是 ；
进一步类比得到的一般结论是 . 【解析】②③；an＋bn＜cn＋hn(n∈N*). 题型二 运用类比推理拓展新知识 【例2】 请用类比推理完成下表： 平面 空间 三棱锥任意三个面的面积之和大三角形两边之和大于第三边 于第四个面的面积 三棱锥的体积等于任意一个底面三角形的面积等于任意一边的长的面积与该底面上的高的乘积的度与这边上的高的乘积的一半 三分之一 三角形的面积等于其内切圆半径 与三角形周长的乘积的一半
【解析】 本题由已知的前两组类比可得到如下信息： ①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象.
由以上分析可知：
故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一.
本题结论可以用等体积法，将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明，此处从略.
【点拨】类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下：
平面 空间 点 线 线 面 圆 球 三角形 三棱锥 角 二面角 面积 体积 周长 表面积 ? ? 【变式训练2】面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离为hi(i＝1,2,3,4)，
4a1a2a3a4(1)若1＝2＝3＝4＝k，则?ihi＝ ；(2)类比以上性质，体积
i?1为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一
S1S2S3S4点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1,2,3,4)，若1＝2＝3＝4＝K，则
?iH＝ ii?14 .
2S3V
【解析】k；K.
题型三 运用“三段论”进行演绎推理