23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知f（x）=∣x+1∣-∣ax-1∣.
（1） 当a=1时，求不等式f（x）﹥1的解集；
（2） 若x∈（0，1）时不等式f（x）﹥x成立，求a的取值范围.
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2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
一、选择题 1．C 7．B
二、填空题 13．6
三、解答题 17．解：
（1）在△ABD中，由正弦定理得由题设知，
BDAB. ?sin?Asin?ADB
2．B 8．D
3．A 9．C
4．B 10．A
5．D 11．B
6．A 12．A
14．?63 15．16 16．?33 2252. ?,所以sin?ADB?5sin45?sin?ADB
由题设知，?ADB?90?， 所以cos?ADB?1?223?. 255（2）由题设及（1）知，cos?BDC?sin?ADB?在△BCD中，由余弦定理得
BC2?BD2?DC2?2?BD?DC?cos?BDC?25?8?2?5?22??25.252. 5
所以BC?5. 18．解：
（1）由已知可得，BF?PF，BF?EF，所以BF?平面PEF. 又BF?平面ABFD，所以平面PEF?平面ABFD.
（2）作PH?EF，垂足为H. 由（1）得，PH?平面ABFD.
uuuruuur以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H?xyz. 由（1）可得，DE?PE. 又DP?2，DE?1，所以PE?3. 又PF?1，EF?2，故PE?PF. 可得PH?33，EH?. 22
则H(0,0,0)，P(0,0,uuuruuur33333), D(?1,?,0)，DP?(1,,)，HP?(0,0,)为平面ABFD的法向量.
222223uuuruuurHP?DP3设DP与平面ABFD所成角为?，则 sin??|uuu. ruuur|?4?43|HP||DP|所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为 19．解：
（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x?1. 由已知可得，点A的坐标为(1,所以AM的方程为y??22). )或(1,?223. 4
22x?2或y?x?2. 22
（2）当l与x轴重合时，?OMA??OMB?0?.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以?OMA??OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y?k(x?1)(k?0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1?2，x2?2，直线MA，MB的斜率之和为kMA?kMB?由y1?kx1?k，y2?kx2?k得
kMA?kMB?2kx1x2?3k(x1?x2)?4k.
(x1?2)(x2?2)y1y2?. x1?2x2?2
x2将y?k(x?1)代入?y2?1得
2(2k2?1)x2?4k2x?2k2?2?0.
4k22k2?2所以，x1?x2?2. ,x1x2?22k?12k?14k3?4k?12k3?8k3?4k则2kx1x2?3k(x1?x2)?4k??0.
2k2?1从而kMA?kMB?0，故MA，MB的倾斜角互补. 所以?OMA??OMB. 综上，?OMA??OMB.
20．解：
218（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)?C220p(1?p). 因此 18217217 f?(p)?C220[2p(1?p)?18p(1?p)]?2C20p(1?p)(1?10p).
0.. 当p?(0,0.1)时，f?(p)?0；)1,10.(令f?(p)?0，得p?1当p?时，f?(p)?0.所以f(p)的最大值点为p0?0.1.
B(180,0.1)，X?20?2?25Y，即
（2）由（1）知，p?0.1.
（ⅰ）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知YX?40?25Y.
所以EX?E(40?25Y)?40?25EY?490.
（ⅱ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX?400，故应该对余下的产品作检验. 21．解：
1ax2?ax?1（1）f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)??2?1???.
xxx2（ⅰ）若a≤2，则f?(x)≤0，当且仅当a?2，x?1时f?(x)?0，所以f(x)在(0,??)单调递减.
a?a2?4a?a2?4（ⅱ）若a?2，令f?(x)?0得，x?或x?.
22a?a2?4a?a2?4)U(,??)时，f?(x)?0； 当x?(0,22a?a2?4a?a2?4a?a2?4a?a2?4,)时，f?(x)?0. 所以f(x)在(0,)，(,??)单调递减，在当x?(2222a?a2?4a?a2?4(,)单调递增.
22
（2）由（1）知，f(x)存在两个极值点当且仅当a?2.
由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2?ax?1?0，所以x1x2?1，不妨设x1?x2，则x2?1. 由于 f(x1)?f(x2)lnx1?lnx2lnx1?lnx2?2lnx21， ???1?a??2?a??2?a1x1?x2x1x2x1?x2x1?x2?x2x2所以
f(x1)?f(x2)1?a?2等价于?x2?2lnx2?0.
x1?x2x2
设函数g(x)?所以 22．解：
1?x?2lnx，由（1）知，g(x)在(0,??)单调递减，又g(1)?0，从而当x?(1,??)时，g(x)?0. xf(x1)?f(x2)1?x2?2lnx2?0，即?a?2. x2x1?x2
（1）由x??cos?，y??sin?得C2的直角坐标方程为
(x?1)2?y2?4. （2）由（1）知C2是圆心为A(?1,0)，半径为2的圆.
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线. 记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2. 由于
B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与
C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以k?0时，l1与C2没有公共点；当k??|?k?2|4?2，故k??或k?0. 经检验，当
3k2?14时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点. 3|k?2|k2?1?2，故k?0或k?当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以时，l1与C2没有公共点；当k?4时，l2与C2没有公共点. 34. 经检验，当k?034综上，所求C1的方程为y??|x|?2.
3
23．解：
??2,?（1）当a?1时，f(x)?|x?1|?|x?1|，即f(x)??2x,?2,?x≤?1,?1?x?1, x≥1.1故不等式f(x)?1的解集为{x|x?}.
2
（2）当x?(0,1)时|x?1|?|ax?1|?x成立等价于当x?(0,1)时|ax?1|?1成立. 若a≤0，则当x?(0,1)时|ax?1|≥1； 若a?0，|ax?1|?1的解集为0?x?综上，a的取值范围为(0,2].
22，所以≥1，故0?a≤2. aa