1111KA?CaCa?b?1?a(a?b?1),KAB?CaCa?1?a(a?1)
根据全概率公式
a(a?1)?A2a?1a?b p(B/A)???2p?A?a(a?b?1)?Aa?ba?b?1p?AB?在这一模型中，摸球的结果不仅与取出球的种类的排列有关，还与前一次摸球的结果有关，即在前一次摸球结果的限制下取出另一个球。 2.2 放回取球问题
所谓放回取球就是把取出来，作好记录，再把球放回去后，使得下一次的取球环境和上一次的取球环境相同。
例 1[5] 袋中有a个红球，b个蓝球，从中用有放回的抽取方式抽取n个球，（1）问恰有k个红秋的概率；（2）第k次取到的是红球的概率；（3）第k次才取到红球的概率；（4）前k次中能取到红球；（5）到第n次恰好取到k个红球。其中?k?n?a?b?
解 （1）每次取球的结果只会有两种，红球和篮球，每次抽取一个是贝努里概型，抽取n次，并且每次抽取之间都是相互独立的，这就可以看成是一个n重贝努里概型解 B??n个球中有k个红球?，又有抽取红球的概率是p?a，则a?b抽取篮球的概率是q?b?1?p a?b根据贝努里概型公式有所求的概率为
?a??b?p?B??C?????a?b??a?b?knkn?k
（2）中的第k次取到的是红球，就意味着前?k?1?次就是在?a?b?中取出一个球就可以了，无论是红球还是蓝球，然后第k次在a个红球中取出一个红球就可以了，根据乘法原理，第k次取出的是红球应该有?a?b?求的概率为
1a?b?Ca?p??a?b?kk?11种取法，因此所Cak?1?a a?b（3）中要求的是第k次才取到红球，意思就是说在前面的?k?1?次都不是红
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1球，那就是?k?1?个蓝球，第k次就从根据乘法原理就有bk?1Ca种取法，因此所
求的概率为
p?ak?1b?a?b?k
（4）中要求的是前k次能有红球，那这个事件的对立事件是前k次中都是蓝球，而前k次都是蓝球的意思就是在前面k次取球中都是在从b个蓝球中取出一个蓝球，有ak种取法，所以所求的概率就为
p?1?ak?a?b?k
（5）中所要求的是在前n次取球中恰好就有k个好球表明取出的个球中包含有k个红球，?n?k?个蓝球，其中k个红球是任意取到的，可以是n次取球中的任意一次，同时也是从a个红球中任意取出一个，取k次，；剩下的?n?k?个就是蓝球，也就是随意的从b个蓝球中任意取出一个，重复?n?k?次，它的取法有
kkn?kCnab种，因此就有所求的概率为
p?kkn?kCnab?a?b?n
例 2 袋中装有4个黑球和1个白球，每次从中任取一球并放入一黑球，继续进行，问第3次摸到黑球的概率是多少？
在袋子中一直会有的就是5个球，所以基本事件就是从5个球中摸取一个，每一次都会有5种取法，因此基本事件的总数应该是53种。按要求若是直接求第3次摸到黑球的概率可能比较复杂，袋中原本就有4个黑球后来又会放入黑球，那如果看看其对立面就是第3次摸到白球，如果要求第3次摸到的是白球就会比较简单，因为白球就只有一个，就是说前两次都摸到的应该就是黑球。
解 设B??第三次摸到的是黑球?，则有B??第三次摸到的是白球?，根据
111C4C1?4?4?1，因而就有所求的概率为 题意有n?53，k?C4p?B??1?pB?1???16109? 53125 14 页） 第 7 页 （共
这种取球的过程实际上也就是按顺序取球的，而且就是每个球都有可能被重复取到，所考虑的实践依然会涉及到取球的顺序，因此在计算的时候要用到重复排列数计算样本有利点数。在遇到这种类型的题目的时候就一定要好好的想清楚是不是应该用重复排列数来计算，或者说是应该用其他的方法来计算。
3 分球入盒问题
分球入盒的问题也就是放球进箱问题，这一类问题实际上是古典概型中的一个数学模型，即就是把一些球随意的放到盒子或者是箱子中去，要求不同，放的方法也就不同。样本点数的计算方法即会用到排列数，又会用到组合数。
例 1[7] 将n个球放到N个箱子中，其中每个球都有可能放入每一个箱子中，球下列事件的概率，（1）指定n个箱子各放一球（设N?n）；（2）每个箱子中最多放入一个球；（3）第i个箱子不是空的；（4）第i个箱子恰好放入k?k?n?个球。
解 根据题目意思可以知道每个球可能放到任意一个箱子中去，而且每个箱子都可能被重复使用。每个球都是放入N个箱子中的任意一个箱子中，应该就有N种放法。根据乘法原理就可以得到n个球随意刚入N个箱子中就有Nn种放法。
（1）指定的n个箱子中各放一球就是相当于n个球的全排列，就有n!种不同的排法，因此所求的概率为
p?n! Nn（2）每个箱子中最多放一个就意味着N个箱子中任意选出n个箱子，每个
n箱子中放入一个球，首先从N个箱子中选出n个箱子有CN种选法；最后在选出
的n个箱子中每个箱子放一个球，就如同（1）中的n个箱子每个箱子中放一个
n球，就有n!种放法。所以要求的放法就有CNn!。因此所要求的概率就为
nCNn!p?
Nn（3）题目要求的是第i个箱子不空就说明第i个箱子至少要放入一个球，直接计算可能会比较困难，所以首先看看对立事件第i个箱子是空的的概率。这就
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表示要把n个球随机放入?N?1?个箱子中，有?N?1?种放法，所以这个概率为
n?N?1?p?Nnn。因此所要求的概率就为
q?1?p?1??N?1?Nnn
k（4）就先假设在n个球中选出有k个球放入第i个箱子中，有Cn种不同的选
法；再把余下的球任意放到其余的箱子中去，有?N?1?k可以得到第i个箱子恰好放入k个球有Cn?N?1?kCn?N?1?n?kn?k种放法。根据乘法原理
n?k种放法，因此所求的概率为
p?Nn
在这种放球入盒中或者是分房子的问题都是一样的，都是可能不仅要考虑排列问题还要考虑组合的排法，所以在遇到这种问题的时候就要小心的去处理。
4 随机取数问题
随机取数就是指在已知的一些数字中随机取出一些数字，这些数字的组合问题以及排列问题。 4.1 有放回的随机取数
这种取数的意思就是说取出来的数字再放回去，相当于从n个不同的元素里，取出允许重复的m个元素重复排列，这样重复排列的种数就为nm
例 1 从2,3,4,5,6,7,8这七个数字中等可能的并且又放回的连续抽取4个数字，试求下列事件的概率 （1）A??4个数字完全不同?； （2）B??4个数字中不含3和7?； （3）C?{4个数字中至少出现一次4}。
解 根据题目意思，这是7个数字又放回的取法，这就是7个数字的排列问题，
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实验结果的总次就为74。
（1）中要求的是抽取的四个数字都不相同，并且是有顺序的取数，所以A事件的包含结果总数可以看成是从7个数字中取出4个的选排列，即为A74。因而所求的概率为
A74p?A??4?0.3499
7（2）若抽取的数字不含3和7，则就是相当于在剩余的4个数字中随机抽取4个数字，因为有放回的抽取，所以事件B的出现总次数 54。于是所求的概率为
54p?B??4?0.2603
7（3）若4个数字中至少出现一次4，运用间接算法，计算事C的对立事件，即C?{4个数字中没有出现4} ，也就是说要在没有4的六个数字中任意选出4个数字，可以看做是6个数字的重复排列，所以排列的总数就为64,因此4个数字中至少出现一次4的概率为
64p?C??1?4?0.4602
74.2 无放回的随机取数
这个意思就是取出的数字补在放回，有两种情况 一种是有顺序的取数字，则可以看作是不重复的排列问题；另外一种则是所取的数不讲顺序，则可以看作是不重复的组合问题。
例 1 用数字1,2,3,4,5任意组成无重复数字的五位数，求下列事件的概率。
它是一个奇数?； （1）A??（2）B??它大于34000?。
解 五个数字的组成美元重复的五位数，就可以看做是五个数字的全排列，
5那么其总的事件结果就应该是A5
(1)A事件要求组合出来的数字是一个奇数，所以说最后一位数就只能是1、3、5中的一个，也就是有3种放法，剩下的4个数字就是任意的全排列，那有利事件
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