专题十七 圆锥曲线与方程
x21.（15北京理科）已知双曲线2?y2?1?a?0?的一条渐近线为3x?y?0，则a? a【答案】
．
3 3考点：双曲线的几何性质
2x2y21?和点A?m，n??m≠0?2.（15北京理科）已知椭圆C：2?2?1?a?b?0?的离心率为，点P?0，2ab都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；
（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得?OQM??ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】 【解析】
2x2y21?在椭圆上，利用条件列方程组，试题分析：椭圆C：2?2?1?a?b?0?的离心率为，点P?0，2ab解出待定系数a21?和点A?m，n??m≠0?，写出PA直线方?2,b2?1，写出椭圆方程；由点P?0，程，令y?0求出x值，写出直线与x轴交点坐标；由点P(0,1),B(m,?n)，写出直线PB的方程，
??OQM??ONQ,?tan?OQM?tan?ONQ令y?0求出x值，写出点N的坐标，设Q(0,y0)，
求出tan?OQM和tan?ONQ，利用二者相等，求出y0??2，则存在点Q（0，??OQM??ONQ.
使得2）12x2y221?且离心率为试题解析：（Ⅰ）由于椭圆C：2?2?1?a?b?0?过点P?0，，2?1,b?1,
2abbc2a2?b211x222C，，椭圆的方程为e?2??1???y?1. a?22222aaa2?P(0,1),A(m,n),直线PA的方程为：y?n?1mx?1，令y?0,x?，m1?n?M(m1?n,0)；
考点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题.
y23.（15北京文科）已知?2,0?是双曲线x?2?1（b?0）的一个焦点，则b? ．
b2【答案】3 【解析】
试题分析：由题意知c?2,a?1，b2?c2?a2?3，所以b?3. 考点：双曲线的焦点.
4.（15北京文科）已知椭圆C:x?3y?3，过点D?1,0?且不过点??2,1?的直线与椭圆C交于?，?两
22点，直线??与直线x?3交于点?． （Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若??垂直于x轴，求直线??的斜率；
（Ⅲ）试判断直线??与直线D?的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）【解析】
6；（2）1；（3）直线BM与直线DE平行. 3试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将椭圆方程化为标准方程，得到a，b，c的值，再利用e?c计算离心率；第二问，由直线AB的特殊位置，设出A，B点坐标，设出直线AEa的方程，由于直线AE与x=3相交于M点，所以得到M点坐标，利用点B、点M的坐标，求直线BM的斜率；第三问，分直线AB的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB和直线AE的方程，将椭圆方程与直线AB的方程联立，消参，得到x1?x2和
x1x2，代入到kBM?1中，只需计算出等于0即可证明kBM?kDE，即两直线平行. x2试题解析：（Ⅰ）椭圆C的标准方程为?y2?1.
3所以a?3，b?1，c?2.
所以椭圆C的离心率e?c6. ?a3（Ⅱ）因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴，所以可设A(1,y1)，B(1,?y1). 直线AE的方程为y?1?(1?y1)(x?2). 令x?3，得M(3,2?y1). 所以直线BM的斜率kBM?2?y1?y1?1.
3?1（Ⅲ）直线BM与直线DE平行.证明如下： 当直线AB的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知kBM?1. 又因为直线DE的斜率kDE?1?0?1，所以BM//DE. 2?1当直线AB的斜率存在时，设其方程为y?k(x?1)(k?1). 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则直线AE的方程为y?1?y1?1(x?2). x1?2令x?3，得点M(3,y1?x1?3).
x1?2?x2?3y2?32222由?，得(1?3k)x?6kx?3k?3?0. ?y?k(x?1)6k23k2?3所以x1?x2?，x1x2?. 221?3k1?3k
考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.
5x2y25.（15年广东理科）已知双曲线C：2?2?1的离心率e?，且其右焦点F2?5,0?，则双曲线C的
4ab方程为
x2y2x2y2x2y2x2y2??1 B. ??1 C. ??1 D. ??1 A．4316991634【答案】B．
【解析】因为所求双曲线的右焦点为F2?5,0?且离心率为e?c5?，b2?c2?a2?9所以c?5，a?4，a4x2y2??1，故选B． 所以所求双曲线方程为
169【考点定位】本题考查双曲线的标准方程及其简单基本性质，属于容易题．
6.（15年广东理科）已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A，B. （1）求圆C1的圆心坐标；
（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
（3）是否存在实数k，使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点：若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.
23?9?5???33??2525?【答案】（1）?3,0?；（2）?x???y2???x?3?；（3）k???,????,?．
2?4?37????44??7【解析】（1）由x2?y2?6x?5?0得?x?3??y2?4， ∴ 圆C1的圆心坐标为?3,0?； （2）设M?x,y?，则
∵ 点M为弦AB中点即C1M?AB， ∴ kC1M?kAB??1即
2yy???1， x?3x23?9?5??∴ 线段AB的中点M的轨迹的方程为?x???y2???x?3?；
2?4?3??（3）由（2）知点M的轨迹是以C?,0?为圆心r??3?2??3为半径的部分圆弧EF（如下图所示，不包括两端2?525??525?点），且E?,，，又直线L：y?k?x?4?过定点D?4,0?，
?33??F??3,?3??????
L
y 当直线L与圆C相切时，由?3?k??4??0?2?k2?12?33得k??，又kDE??kDF42E 上图可知当k???,?????25?0????3???25，结合??574?3D ?33??2525?C时，直线：与曲线只有一个交点． y?kx?4,L???7??44??7x O C 【考点定位】本题考查圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形结合思想等应用，属于中高档题． F x2y2?2?1（m?0）的左焦点为F1??4,0?，则m?（ ） 6.（15年广东文科）已知椭圆
25mA．9 B．4 C．3 D．2 【答案】C