概率统计总复习资料
注：(1) 以下是3学分、4学分、4.5学分考试的参考内容，不作为实际考试范围，考试内容以教学大纲和实施计划为准；(2)四学分包含所有3学分内容；(3)4.5学分包含所有4学分内容；(3)注明“了解”的内容一般不考．
1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义 2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义
3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式
4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质． 5、理解随机变量的概念，能熟练写出(0—1)分布、二项分布、泊松分布的概率分布． 6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质． 7、掌握指数分布(参数?)、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算
8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的概率分布或概率密度． 9、会求分布中的待定参数．
10、会求边沿分布函数、边沿概率分布、边沿密度函数，会判别随机变量的独立性． 11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算．(四学分)
12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率．
13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法．(四学分) 14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差．会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差．
15、较熟练地求协方差与相关系数.
16、了解矩与协方差矩阵概念．会用独立正态随机变量线性组合性质解题． 17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题．
18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握?2分布(及性质)、t分布、F分布及其上百分位点及双侧百分点概念． 19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理（不要求背，考试时定理内容可列在试卷上）；会用矩估计方法来估计未知参数．
20、掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法．
21、会求单正态总体均值与方差的置信区间．会求双正态总体均值与方差的置信区间． 23、明确假设检验的基本步骤，会U检验法、t检验、?检验法、F检验法解题．(三学分只考两个正态总体均值与方差的检验法)．
24、掌握两个正态总体均值与方差的检验法．(四学分) (以下内容仅仅针对4.5学分考试，3、4学分不作要求)
25、掌握随机过程的概念，掌握随机过程的分布函数和数字特征． 26、掌握独立增量过程、正态过程、维纳过程的判断方法． 27、了解严平稳过程，掌握宽平稳过程的判断和基本性质．
28、了解圴方极限与圴方积分、时间均值与时间相关函数的概念，了解各态历经性的判定定理．
29、了解时间函数的功率谱密度，掌握平稳过程的功率谱密度概念，掌握功率谱密度的基本
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性质，了解互谱密度及其性质． [模拟试卷1(3学分、4学分)] 一、（9分）现有10张卡片，分别标有号码1，2?，10，今从中任意抽取出三张卡片．求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率；（3）中间号码为5的概率． 二、（9分）已知P（A）=0.5,P(B)=0.6,P(AB)=0.4,求下列概率： P(A|B),P(A|B),P(A|B)．三、（12分）设随机变量X的概率密度函数为f(x)=αe(-∞ 2 五、（10分）设X是一个随机变量，试证明对任意常数c，有D（X）≤E[（X-c）]，并由 -|x| (b?a)2此证明：对取值于区间[a,b]内的随机变量X，有D(X)? 4六、（15分）假设某校学生的数学能力测试成绩X与音乐能力测试成绩Y具有如下形式的概率密度函数； ?2?(2x?3y),0?x?1,0?y?1f(x,y)??5 ?0,其它?（1）试求fX(x)与fY(y)，并判断X与Y是否相互独立？ （2）试求X与Y的相关系数?XY，并判断X与Y是否不相关？ 七、（10分）检验员逐个检查某种产品，每查一件花10秒时间，有的产品可能要复查一次 而再花10秒时间．假定每一件产品需复查的概率为0.5，求在8小时内检验员能够至少检查1900件的概率． 附：Φ（1.37）=0.9147，Φ（1.38）=0.9162 八、（15分）设X~N(a,?)，a已知，?未知，（X1，?，Xn）为样本，（x1,?,xn）为样本观察值，求?的极大似然估计，判断它是否?的无偏估计，并计算出它的方差． 九、（12分）设X~N(a,?)，a和?未知，(x1,x2,?,xn)为样本X1,X2,?,Xn观察 2值．（1）试写出检验a与给定常数a0有无显著差异的步骤;(2)试写出检验?与给定常数?022 222 22比较是否显著偏大的步骤．（要求写出步骤序号）． [模拟试卷2(3学分、4学分)] 一、填空：（每题5分） 1.若事件A与B相互独立，且P(A)=0.5,P(B)=0.25,则P(A-B)=_________; P(A?B)=___________. 2.设总体X服从N(a,22)分布，（X1,X2,...Xn)是来自此总体的样本，X 为样本均值，试问 样本容量n>_________,才能使E(|X-a|2)?0.1 第 2 页 共 23 页 二、选择填空：（每题5分） 1.设两个独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1)则_______ (A) P{X+Y<0}=0.5 (B) P{X+ Y <1}=0.5 (C) P{X-Y<0}=0.5 (D) P{X- Y <1}=0.5 2.设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X和Y________ (A)不相关的充分条件，但不是必要条件． (B)独立的充分条件，但不是必要条件． (C)不相关的充分必要条件． (D)独立的充分必要条件． 三、(12分）在射击室里有9支枪，其中经试射的有两支，试射过的枪的命中率是0.8,未试射过的枪的命中率为0.1．今从射击室里任取一枪，发射一次结果命中了．求“所取枪是已经试射过” 的概率． 四、(12分）设随机变量X的分布列为 P{ X =k}= a k=1,2,... 2k求： (1)参数a. (2)P{ X >4} (3)Y=2X+1的分布列． 五、(12分）设随机变量X与Y独立且均在(-1,1)区间上服从均匀分布，求： (1) P{ X +Y<1}; (2) F(0.5,-0.5) 六、(12分）已知(X,Y)的概率密度函数为 ?x?y0?x?1,0?y?1 f(x,y)?? 0其它?求：（１）相关系数?XY；（２）判断X与Y的独立性． 七、(10分）某工厂有100台同类机器，各台机器发生故障的概率均为0.2,假设各台机器工 作是相互独立的，设一台机器需一人维修，为使机器发生故障时能及时维修的概率不低于90%,问至少应配备多少名维修工人． 八、（12分）总体X的概率密度函数为 1??f(x)?e2?|x|???x??， X 1, X 2,... X n为X的样本，求参数?的矩估计． 九、(10分）已知某种食品每袋标准重量应为50克,现随机抽查市售的该种食品4袋测得重量如下：45.0, 49.5, 50.5, 46.5,设每袋重量服从均方差为3(克）的正态分布，试在显著性水平?=5%下检验该食品平均袋重是否合格． t2x1?附表：?(x)??e2dt ??2?x 1.28 1.645 1.96 0.9 0.95 0.975 ?(x) [模拟试卷3(3学分、4学分)] 一、（15分）玻璃杯成箱出售，每箱20只．假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4 第 3 页 共 23 页 只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回．试求：（1）顾客买下该箱的概率?；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率?． 二、（12分）设随机变量X的分布列为 P{X?k}?A,k?1,2,? k2求：（1）参数A；（2）P{X?4}；（3）Y?2X?1的分布列． 三、（10分）设二维随机变量(X,Y)在矩形G?{(x,y)|0?x?2,0?y?1}上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度f(s)． 四、（12分）设X~U(a,a?h),Y~b(n,p)，且X与Y相互独立，试求Z??X??Y和W??X??Y的相关系数（其中?、?是不全为零的常数）． 五、（12分）设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率． 六、（12分）设总体X的概率密度为 ?6x?3(??x),0?x??, f(x)????0,其它,?（1）?的矩估计量??；（2）??的方(X1,X2,?,Xn)是取自总体X的简单随机样本．求： ?)． 差D(?七、（12分）设X服从N(0,1)，(X1,?,Xn)是来自总体X的样本，Y?(X1?X2?X3)2＋(X4?X5?X6)2．试求常数C，使得CY服从?分布． 八、（15分）从一批木材中抽取100根，测量其小头直径，得到样本平均数为x?13.2cm， 已知这批木材小头直径的标准差??2.6cm，问该批木材的平均小头直径能否认为是在12cm以上？（取显著性水平?＝0.05） 附表一： 2?(0.2222)?0.5871,?(1.64)?0.9495,?(1.65)?0.9505,?(1.96)?0.9750,?(2.108)?0.9826 [模拟试卷4(3学分、4学分)] 一、(14分)已知50只铆钉中有3只是次品，将这50只铆钉随机地用在10个部件上．若每 个部件用3只铆钉，问3只次品铆钉恰好用在同一部件上的概率是多少？ 第 4 页 共 23 页 二、(14分)已知随机变量X的概率密度为f?x???（2）P{0.5?X?3}；（3）P{X?x}． ?2Ax,?0,0?x?1，求：（1）参数A； 其他三、（14分）设随机变量X和Y的联合分布以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从 均匀分布,试求随机变量U?X?Y的方差． 四、(12分）已知(X,Y)的概率密度函数为 ?x?y,0?x?1,0?y?1． f(x,y)??其它?0,（1）求X与Y的相关系数?XY；（2）试判断X与Y的独立性． 五、（10分）设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立．已知每户每 天用电量（单位：度）在[0，20]上服从均匀分布．现要以0.99的概率满足该地区居民供应电量的需求，问供电站每天至少需向该地区供应多少度电？ 六、（8分）在总体X~N(12,4)，从X中随机抽取容量为6的样本(X1?,X6).求样本均值与总体均值之差的决对值大于2的概率． 七、（14分）设总体X的密度函数为 ??1???x,0?x?1f(x)?? 0,其它??其中?是未知参数，且??0．试求?的最大似然估计量． 八、（14分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布N(54,0.75)，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下： 54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3 如果标准差不变，该日生产的零件的平均重量是否有显著差异（取??0.05）？ 附表一： ?(0.2222)?0.5871,?(1.64)?0.9495,?(1.65)?0.9505,?(1.96)?0.9750,?(2.108)?0.9826,?(2.33)?0.9901,?(2.45)?0.9929，?(2.575)?0.9950. [模拟试卷5(4.5学分)] 一、(12分)一袋中有十个质地、形状相同且编号分别为1、2、?、10的球．今从此袋中任意取出三个球并记录球上的号码，求（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率；（3）一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5的概率． 二、12分)设随机变量X~U(?1,1),求Y?X的分布函数与概率密度． 三、10分)设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概 率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫的产卵数X与孵化为成虫数Y的联合分 第 5 页 共 23 页 2