由于电力系统已知的不是节点注入电流，而是节点注入功率，所以电力系统的节点电压方程为
~*?S??,为关于节点电压的非线性方程组，其解法为迭代法。 ????YBUBU??B4、电力系统的变量和节点分类
①电力系统的变量分为不可控变量、可控变量和状态变量三种。
可控变量：发电机发出的有功功率PGi、无功功率QGi，共2n个，对于负荷节点，PGi?0、
QGi?0。
不可控变量：负荷的有功功率PLi、无功功率QLi,共2n个，对于无负荷的节点，PLi?0、
QLi?0。
状态变量：节点的电压大小Ui和初相角?i，共2n个。 ②电力系统节点的分类
PQ节点，此种节点已知量为PGi、QGi、PLi、QLi，待求量为Ui和?i。由于节点注入系统的有功功率Pi?PGi?PLi、无功功率Qi?QGi?QLi一定，故称为PQ节点；
PV节点：此种节点已知量为PGi、PLi、QLi、Ui，待求量为QGi和?i。由于节点注入系统的有功功率Pi?PGi?PLi、节点电压大小Ui一定，故称为PV节点；
平衡节点：此种节点已知量为PLi、QLi、Ui、?i（?i＝0），待求量为PGi、QGi，由于该节点在电力系统中起维持系统功率平衡的作用，故称为平衡节点。
电力系统中，PQ节点是大量的，变电所的母线、定出力发电厂的母线都是PQ节点；PV节点是少量的，装有无功补偿，并能在运行中维持母线电压恒定的变电所母线、恒压方式运行的按定有功出力的发电厂的机端电压母线是PV节点；平衡节点在系统只有一个，并且只有一个，就是电力系统担负调频任务的发电厂的机端电压母线。
5、高斯－塞德尔潮流计算法
高斯－塞德尔潮流计算法的标准书写模式为
?(K?1)?1?[S1?YU?(K)?YU?(K)???YU?(K)] U11221331nn*Y11(K)U1?(K?1)?1?[S2?YU?(K?1)?YU?(K)???YU?(K)] U22112332nn*Y22(K)U2……………………………………………………………………
**36
?(K?1)?1?[Si?YU?(K?1)???YU?(K?1)?YU?(K)??YU?(K)] Uii11i.i?1i?1i.i?1i?1inn*Yii(K)Ui……………………………………………………………………
*?(K?1)?1?[Sn?YU?(K?1)?YU?(K?1)??YU?(K?1)] Unn11niii.n?1n?1*Ynn(K)Un由于迭代计算中所用的电压为第K次和第（K＋1）次的迭代结果，所以高斯－塞德尔潮流计算法又称为异步迭代法。
高斯－塞德尔潮流计算法的特点是对电压初值的要求低，缺点是迭代收敛速度慢，所以现在很少单独使用，通常都是作为其它潮流计算方法的前置运算。
6、牛顿－拉夫逊潮流计算法
牛顿－拉夫逊潮流计算法是将电力系统的节电电压方程展开为功率平衡方式，然后在将其线性化，得到修正方程式（线性方程组），然后利用解线性方程组的方法计算节点电压的修正量，并求节点电压的新值，然后利用节点电压的新值重新计算雅可比矩阵的各个元素，重解修正方程式，求新的节点电压修正量，再求节点电压新值，…….直到求得的节点电压修正量小于规定值（即收敛判据），则最后一次求得的电压（大小和相角）即为节点电压方程的解。牛顿－拉夫逊潮流计算法的修正方程式为
用直角坐标表示时 用极坐标表示时
*??P??H??Q???J???2???U????RN???f??? ??P??HL???Q???J??????S?????e??N????? ???L???U/U?牛顿－拉夫逊潮流计算法的特点是迭代收敛速度快，但对初值要求较严，如初值选择不当，可
能导致迭代不收敛的情况发生，这是因为功率平衡方程线性化是在状态变量的修正量很小的情况下进行的。
牛顿－拉夫逊潮流计算法是当前广泛采用的潮流计算方法。 7、PQ分解潮流计算方法
PQ分解法派生于牛顿－拉夫逊潮流计算法，是根据电力系统的特点对牛顿－拉夫逊潮流计算法的简化。
第一个简化是：在忽略电力元件电阻的情况下，节点电压的相角的改变主要影响电力系统的有功功率潮流从而各节点的注入有功功率；各节点电压大小的改变主要影响各元件中的无功功率潮流从而各节点的注入无功功率；并据此将???P??H?????Q??JN?????中的N、J略去，而将修正方式???L???U/U?简化为???P??H???0?Q???0???????U/U?。 L????第二个简化为：根据正常运行时|?ij|?|?i??j|不易过大，cos?ij?1；Gij??Bij;
Qi??Ui2Bii的特点，将雅可比矩阵中的H、L进行简化。从而得到简化的修正方程式
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??P/U??B?O??U???????Q/U??0B?????U?。
??????PQ分解法的特点为占据计算机内存小、计算中不需对系数矩阵进行修改、B?、B??均为对称矩阵求逆运算的运算量远远小于非对称矩阵J的求逆运算量，从而提高了计算速度。
一般地说，在同样的计算精度要求情况下，PQ分解法迭代次数多于牛顿－拉夫逊法，但每次迭代计算时间少于牛顿－拉夫逊法，以致PQ分解法总的计算速度仍快于牛顿－拉夫逊法。
8、PV节点无功功率越限的处理
不管采用那种计算方法，都可能出现PV节点无功功率越限的情况，这时，这些节点的无功功率应相应地取其上限Qi.max、或下限Qi.min，即这些节点由PV节点转化为PQ节点。
9、平衡节点功率与线路功率的计算
不管采用那种方法，当迭代收敛求得节点电压后，就可以利用下面的计算公式计算平衡节点的功率和线路功率。
i?n~??YU?P?jQ 平衡节点功率计算公式：SS?USsssiii?1**线路功率计算公式：
Si、j?Pi、j?jQi、jSj、i?Pj、i?jQj、i线路i、j中的功率损耗为
~~~~?[yUi??U（Ui?Uj）yi、j] ii0?[yUj??U（Uj?Ui）yi、j] jj0**********~?Si、j?Si、j?Sj、i
四、解题指导
例题1
求下图所示等值网络的节点导纳矩阵（图中数值为标么阻抗）。
解：解：
各支路导纳为：
y10?111?j0.02、y20??j0.02、y30??j0.025、 j50j50j4011?0.481?j2.4、y13??0.453?j1.891、
0.08?j0.40.12?j0.538
y12?
y23?11?0.588?j2.353、y34???j2.5。
0.1?j0.4j0.4各节点的自导纳和互导纳分别为：
Y11?y10?y12?y13?0.934?j4.271、Y22?y20?y12?y23?1.069?j4.733、 Y33?y30?y13?y23?y34?1.041?j6.719、Y44?y34??j2.5、 Y12?Y21??y12??0.481?j2.4、Y13?Y31??y13??0.453?j1.891、 Y14?Y41?0、
Y23?Y32??y23??0.588?j2.353、Y24?Y42?0、Y34?Y43??y34?j2.5。
节点导纳矩阵为：
例题2
某系统节点导纳矩阵如下。若在节点1、3间增加一条阻抗Zk=j2的线路，求修改后的节点导纳矩阵。
?1.23?j2.52?0.55?j1.12?0.68?j1.4????0.55?j1.121.47?j3.0?0.92?j1.88?? ??0.68?j1.4?0.92?j1.881.60?j3.28???解：
??Y11? Y111?1.23?j2.52?j0.5?1.23?j3.02 Zij1?1.60?j3.28?j0.5?1.60?j3.78 Zij1)?0.68?j1.4?j0.5?0.68?j1.9 Zij??Y33?Y33??Y31??Y13?(?Y13 修改后的节点导纳矩阵为:
?1.23?j3.02?0.55?j1.12?0.68?j1.9????0.55?j1.121.47?j3.0?0.92?j1.88?? ??0.68?j1.9?0.92?j1.881.60?j3.78???39
五、作业题
1、判断题
①如果两个节点之间无直接联系，则两个节点互导纳为零，两个节点的互阻抗也为零。（ ） ②电力系统的节点导纳矩阵通常根据节点自导纳和节点互导纳的定义形成；而节点的阻抗矩阵通常采用支路追加法形成。（ ）
③电力系统节点导纳矩阵中，某行（或某列）非对角元素之和的绝对值一定小于主对角元素的绝对值。（ ）
④当变压器采用?形等值电路时，改变变压器变比将引起系统节点导纳矩阵中所有元素的变化。（ ）
⑤未装设无功补偿装置的变电所母线为PQ节点。（ ）
⑥电力系统潮流计算中，必须设置，并且只设置一个平衡节点。（ ） ⑦装有无功补偿装置，运行中可以维持电压恒定的变电所母线为PV节点。
⑧高斯-塞德尔潮流计算法，由于收敛速度慢，在电力系统潮流计算中很少单独使用。（ ） ⑨牛顿-拉夫逊潮流计算法同高斯-塞德尔潮流计算法相比较，收敛速度快，但对初值的要求严格。（ ）
⑩PQ分解法是对牛顿-拉夫逊潮流计算法的改进，改进的依据之一是高压电网中，电压相角的变化主要影响电力系统的有功功率潮流分布，从而改变节点注入有功功率；电压大小的变化主要影响电力系统无功功率潮流的分布，从而改变节点注入无功功率。（ ）
2、问答题
①电力系统潮流计算的数学模型为什么采用节点电压方程，而不采用回路电流方程？ ②电力系统潮流计算中，变压器采用何种数学模型？为什么？
③牛顿拉夫逊潮流计算法和PQ分解法为什么对于电压初值的要求比较严格？
④电力系统的节点按运行状态的不同分为哪几类？每类的节点的已知量和待求量是什么？ ⑤写出计算平衡节点注入功率、输电线路功率和线路功率损耗的公式。 ⑥高斯-塞德尔潮流计算法为什么又称为一部迭代法？
⑦高斯-塞德尔潮流计算法和牛顿-拉夫逊潮流计算法配合使用的目的是什么？
⑨PQ分解法修正方程式的系数矩阵，同牛顿-拉夫逊法修正方程式的雅可比矩阵相比较具有哪些特点？这些特点对于提高潮流计算速度有何影响？
⑩电力系统中节点变量的约束条件有哪些？ 3、计算题
①电力系统等值电路如下图所示。各元件阻抗标幺值为z10??j30，z20??j34、z30??j29、
z40??j30、z12?0.08?j0.4、z13?0.1?j0.4、z24?0.12?j0.5、z34?0.12?j0.5、z45?j0.5。求节点导纳矩阵。
②在上题图中，如果变压器变比调整为1.05:1，求电力系统的节点导纳方程。
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