d2?1(x)2?322223??2x2而 ?[(2?6?x)?2?x(2x?2?x)]edx2? 3224??[(1?5?2x2?2?4x4)]e??x?d2?1(x)4?31 ??2?0 2dx1?ex??2 可见x??
1??????是所求几率最大的位置。 #
2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(?x)?U(x)，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为
?2d2 ??(x)?U(x)?(x)?E?(x) ①
2?dx2 将式中的x以(?x)代换，得
?2d2 ??(?x)?U(?x)?(?x)?E?(?x) ② 22?dx利用U(?x)?U(x)，得
?2d2 ??(?x)?U(x)?(?x)?E?(?x) ③ 22?dx 比较①、③式可知，?(?x)和?(x)都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此?(?x)和?(x)之间只能相差一个常数c。方程①、③可相互进行空间反演
(x??x)而得其对方，由①经x??x反演，可得③，
(?x)?c?(x) ④ ? ? 由③再经?x?x反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。
(x)?c?(?x) ⑤ ? ? ④乘 ⑤，得
?(x)?(?x)?c2?(x)?(?x) 可见，c2?1 c??1
?(?x)??(x)，??(x)具有偶宇称， 当c??1时，
11
当c??1时， ?(?x)???(x)，??(x)具有奇宇称，
当势场满足 U(?x)?U(x)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。#
2.7 一粒子在一维势阱中
? ? a?U0?0, x U(x)??
, x ? a ?? 0运动，求束缚态(0?E?U0)的能级所满足的方程。 解法一：粒子所满足的S-方程为
??2 d22?dx2?(x)?U(x)?(x)?E?(x) 按势能U(x)的形式分区域的具体形式为
Ⅰ：??2d22?dx2?1(x)?U0?1(x)?E?1(x) ??2d2 Ⅱ：2?dx2?2(x)?E?2(x) ?2 Ⅲ：?d22?dx2?3(x)?U0?3(x)?E?3(x) 整理后，得
Ⅰ： ?2?(U0?E)1????2?1?0 Ⅱ：. ??2? E2???2?2?0 Ⅲ：????2?(U0?E)3?2?3?0 令 k21?2?(U0?E)?2 k22?E2??2 则
Ⅰ： ?1???k21?1?0 ⑦ Ⅱ：. ??22??k2?2?0 ⑧ Ⅲ：??3??k21?1?0 ⑨ 各方程的解为
???x?a ①
?a?x?a a?x?? ③
④ ⑤ ⑥
② 12
?1x1?Ae?k?Bek1x ?2?Csink2x?Dcosk2x
?3?Ee?k1x?Fe?k1x 由波函数的有限性，有 ?1(??)有限 ?A?0?有限 ?E?0
3(?)因此
?1?Bek1x?3?Fe?k1x
由波函数的连续性，有
?1(?a)??2(?a),?Be?k1a??Csink2a?Dcosk2a (10)
?1?(?a)???2(?a),?k1a1Be?k?k2Ccosk2a?k2Dsink2a (11)?k2(a)??3(a),?Csink2a?Dcosk2a?Fe?1a (12)
??(a)??3?(a),?k2Ccosk2a?k2Dsink2a??kk1a21Fe? (13) 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得
e?k1aB?sink2aC?cosk2aD?0?0 k1a
k1e?B?k2cosk2aC?k2sink2a D?0?00?sink2aC?cosk2aD?e?k1aF?0
0?kk2cosk2aC?k2sink2aD?k1e?1aF?0 解此方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须e?k1asink2a?cosk2a0k?k1e1a ?k2cosk2a?k2sink2a00sink?0
2acosk?k2ae1a0k2cosk2a?kk2sink2ak1Be?1a?k2cosk2a?k2sink2a00?e?k1asink2acosk2a?e?k1a?k2cosk2a?k2sink2ak1e?k1asink2a?cosk2a0 ?k1e?k1asink2acosk2a?e?k1a?k
2cosk2a?k2sink2ak?ka1e1 ?e?k1a[?kk1acos2k?k
1k2e?2a?k22e1asink2acosk2a? ?kk2k2?k2e1a1k2e?1asin2a?ksink2acosk2a]? ?kka1e?1a[k1e?k1asink2acosk2a?k2e?k1cos2k2a? ?kk1e?1asink2acosk2a?k?ka2e1sin2k2a] ?e?2k1a[?2k1k2cos2k2a?k22sin2k22a?k1sin2k2a] ?e?2k1a[(k222?k1)sin2k2a?2k1k2co2sk2a]
13
∵ e?2k1a?0
∴(k22?k21)sin2k2a?2k1k2cos2k2a?0
即 (k222?k1)tg2k2a?2k1k2?0为所求束缚态能级所满足的方程。#
解法二：接（13）式
?Csink2a?Dcosk2a?k2kCcoskk2a?2Dsink2a 1k1 Csinkk2 2a?Dcosk2a??Ccoskk2k2a?Dsink2a 1k1k2k2kcosk2a?sink2asink2a?cosk2ak1k1?02kcosk?sink?(k22a2aksink2a?cosk2a)11?(k2kcosksinkk22a?2a)(sink2a?cosk2a)1k1?(k2kcoskkk22a?sin2a)(ksink2a?cosk2a)?011 (k2kcosk?sinkk2a2a)(2sink2a?cosk2a)?01k1 k22ksinkkk2a?k222acos2a?sin2k2cos2k2a?sink2acosk2a?01k1k1 (?1? k222kk2)sin2k2a? 2cos2k2a?1k01 (k22?k21)sin2k2a? 2k1k2cos2k2a?0#
解法三：
(11)-(13)?2k2Dsinkk2a?k1e?1a(B?F) (10)+(12)?2Dcosk?k2a?e1a(B?F)
(11)?(13)(10)?(12)?k2tgk2a?k1 (a)
(11)+(13)?2k2Ccosk2a??k1(F?B)e?ik1a (12)-(10)?2Csink2a?(F?B)e?ik1a
(11 ) ? (13 )
(12 ) ? (10 )
? k 2 ctgk 2 a ? ? k 1
14
令 ??k2a，??k2a， 则
? tg??? (c)或? ctg???? (d)
2?2??2?(k2?k2)?2?U0a12?2 (f)
合并(a)、(b)： tg2kk1k22tgk2a2a?2k2k2 利用tg2k2a?2 2?11?tgk2a解法四：（最简方法-平移坐标轴法）
Ⅰ：??22??1???U0?1?E?1 （χ≤0） Ⅱ：??22???2??E?2 （0＜χ＜2a） Ⅲ：??22???3??U0?3?E?3 （χ≥2a） ???1???2?(U0?E)?1?0??2???????2?E?2?2?2?0
?????2?(U3??0?E)?2?3?0???1???k20 (1) k21?1?1?2?(U0?E)?2???2??k2 2?2?2?0(2) k22?2?E?束缚态0＜E＜U0???3??k21?3?0 (3)?1?Ae?k1x?Be?k1x?2?Csink2x?Dcosk2x
??k1x3?Ee?Fe?k1x ?1(??)有限 ? B ?0? ? E ?0
3(?)有限
??k1x1?Ae ??k1x
3?Fe由波函数的连续性，有
#
因此
15