课题：第5章 线性代数 §5.2矩阵
1.矩阵的概念
教学目标：理解和掌握矩阵的有关概念， 重点难点：矩阵的有关概念 教学过程与内容：
§ 5.2.1 矩阵的概念与运算
考虑二元线性方程组
?a11x1?a12x2?b1 ?
ax?ax?b2?211222课时：2
其解的情况取决于未知量系数与常数项，因此将它们按照顺序组成一个矩形表
?a11 ??a?21a12a22b1?? b2??进行研究，更一般地，引进矩阵的概念。
1. 定义1 将m?n个数aij?i?1,2,?,m;j?1,2,?,n?组成一个m行n列的矩形表，称为m行n列矩阵，记为
?a11??a21A? ???a?m1a12a22am2a1n??a2n?? ?amn??只有一行的矩阵称为行矩阵，也称为行向量， 只有一列的矩阵称为列矩阵，也称为列向量， 所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵，记为O
2. 定义2 已知矩阵A,B,它们的行数相同且列数也相同，若对应位置上的元素皆相等，则称矩阵A等于矩阵B,记为
A?B 3. 几个概念：
? 零行 （一行的元素全为0） ? 非零行 （一行的元素不全为0）
1
? 首非零元素 （在非零行中，从左到右，第一个不为零的元素） 4. 定义3 已知矩阵A,若它满足 （1）各非零行首非零元素分布在不同列 （2）当有零行时，零行在矩阵的最下端 则称矩阵A为阶梯形矩阵，
21??35 例1 ??0?13?39?? 为阶梯形矩阵
???1?11?10??? ?02002? 为阶梯形矩阵
?00011????34123??? ?00011? 为阶梯形矩阵
?00000????11?2?3??? ?0?137? 为阶梯形矩阵
?0?2511??? 5. 定义4 已知阶梯形矩阵A,若它还满足 (1）各非零行首非零元素皆为1
（2）各非零行首非零元素所在列的其余元素全为零 则进而称阶梯形矩阵A为简化阶梯形矩阵。
?10?1?例2 ??013?? 为简化阶梯矩阵
???100?21??? ?01010? 为简化阶梯矩阵
?001?3?1?????1? ?0?0??430011?0?33?011? 为简化阶梯矩阵 000???6.n阶方阵
若矩阵A??aij?的行数与列数都等于n,即
2
?a11??a21 A????a?n1a12a22an2a1n??a2n?? ?ann??则称A为n阶方阵。
7. 单位方阵
在n阶方阵中，若主对角线上的元素皆为1，其余元素皆为零，则称这样的方阵为单位矩阵，记为I，即
?10??01 I????00?0??0?? ?1??小结： 这一小结主要介绍矩阵的有关概念，这里要区别矩阵与行列式的概念，矩阵是一个矩形表，而行列式是一个数值。
（1） m行n列矩阵的概念 （2）矩阵相等的概念 （3）阶梯形矩阵的概念 （4）简化阶梯矩阵的概念 （5）方阵的概念 （6）单位矩阵的概念
3
课题：第5章 线性代数 §5.2矩阵 2. 矩阵的基本运算
教学目标：掌握矩阵的基本运算方法 重点难点：矩阵的基本运算方法 教学过程与内容：
1.矩阵与矩阵的加、减法
课时：2
定义2.5 已知m行n列矩阵A??aij?m/n与B??bij?m/n，将对应位置元素相加、相减，所得到的m行n列矩阵称为矩阵A与B的和、差，记为
A?B??aij?bij?m/n （注意：只有行数相同且列数也相同的两个矩阵才能相加、减）
?13?????54?A??20???B?3?1例1 已知矩阵，??，求和A?B， ??10????16????13???54???47???????解：A?B??20???3?1???5?1?
??10??1?6?6??????0? 2.数与矩阵的乘法
定义2.6 已知数k与m行n列矩阵A??aij?m/n，将数k乘矩阵A的每个元素，所得到的m行n列矩阵称为数k与矩阵A的积，记为 kA??kaij?m/n
?12? 例2 已知矩阵A???34?? ，求积2A，
???12??2?12?2??24? 解：2A?2??34?????2?32?4?????68??
???????123???142??? 例3 已知矩阵A??,B??0?14??60?5??，求差3A?2B，
???? 4
?123???142??369???284? 解：3A?2B?3??0?14???2??60?5?????0?312?????120?10??
???????????5?25????12?322??? 学生练习：已知矩阵A???203???6??04?1???，B??20????145???，求2A?3B，
例4 已知二阶方阵A???1?1???2?1???,B???01???1?1???,C???00????12???,D???0??0E???12???34???，求使得关系式xA?yB?zC?wD?E成立的系数x,y,z,w.
解：计算
xA?yB?zC?wD
?x??1?1???y??01??00??00???2?1????1?1????z????12????w???01???
???x?x0????00??2x?x??????0y???y?y??????0???z2z???????0w??? ???x?x?y??2x?y?z?x?y?2z?w??
??由于系数x,y,z,w满足关系式 xA?yB?zC?wD?E 即有
??x?x?y???12?2x?y?z?x?y?2z?w???????34??
??于是有
??x?1 ???x?y?2?2x?y?z?3 ???x?y?2z?w?4解此线性方程组得到
5
0?1???及