d?/d?/dNR?Nsin?(N?dN)sin?Nd?/
22//dN/?dF/??dNR??Nd?/??Ndl R/令???R/（每米孔道单位力所产生的预应力损失），则有
dN/??Ndl
③、管道摩擦总损失
综合②和③的推算结果，则可得到管道摩擦产生的预应力损失总值为：
dN??Nd???Ndl
由于?一般都很小，所以可以用预应力筋在水一方向的投影值dx近似地代替
dl
dN??d???dx N即有
对上式两边进行积分则有
?NconNx?xdN???d????dx 00N?lnNx??(?x???)?C 故有 Nx?e?(?x???)?C Ncon代入边界条件：当x?0时 ??0,Nx?0?Ns 可得C?0 Nx?Ncone?(?x???)
则可计算出距离张拉端x时的预应力筋的应力损失为：
Ncon?Ncone?(?x???)?l2???con(1?e?(?x???))
Ay式中：?con--预应力钢筋的控制张拉应力；
x--预应力筋张拉端至计算截面的水平投影距离，以m计；
?--预应力筋的与孔道壁的摩擦系数，按表五取值；
?--孔道每米长度局部偏差的摩擦系数；
?--张拉端至计算截面曲线孔道部分切线的夹角，以弧度计； Ay--预应力钢筋的截面积。
④、折线形预应力筋摩擦损失的计算
在上节中推导的摩擦损失计算公式（规范式）：?l2 ??con(1?e?(?x???))当?x????0.2时，公式按泰勒级数展开，并取第一项，则可简化为：
?l2?(?x???)?con
对于如图3-3所示的折线形预应力钢筋，AB直线段(??0)，则按简化式可计算其预应力损失为：
(?l2)AB???conxAB
B点处的转角水平投影很短（即x?0），设转角处的摩擦系数为?，则在该点处的预应力损失为：
(?l2)B?(?con???conxAB)???(?l2)B?(1??xAB)?con??同理直段CD的损失为：
一般直线段的预应力损失比较少，即1??x?0，所以有：(?l2)B??con??。
(?l2)CD?(?con???conxAB????con)?(x?xAB)?(?l2)CD?(1??xAB???)?con(x?xAB)
图3-3 折线形预应力筋摩擦损失示意图
令(1??xAB???)?con?K（常数） 则有：
(?l2)CD?K(x?xAB)
由上述分析可知，对于折线形预应力筋的预应力损失在直线段上是呈线性变化的，在折点处有突变。
2.2.3 预应力筋与张拉设备之间温差引起的应力损失（?l3）
此项预应力损失，仅在先张法混凝土结构采用蒸汽或其他加热方法养护混凝土时才予以考虑。设张拉时钢筋与台座的温度均为t1,混凝土加热养护时最高温度为t2,由于此时钢筋尚未与混凝土粘结，温度由t1升为t2后可在混凝土中自由变形，使钢筋产生一温差变形?l1:
?l1??(t2?t1)l
式中：?－ 钢筋的线膨胀系数，一般可取为1?10?5;
l－ 钢筋的有效长度。
由于张拉台座一般埋置于土中，其长度不会因对构件加热而伸长，于是约束了
预应力钢筋的伸长，这就相当于预应力筋被压缩了一个?l1长度，应力也就下降了。当停温养护时，混凝土已与钢筋粘结在一起，同时随温度变化而共同伸缩，因养护升温所降低的应力不可恢复，于是就形成温度应力损失，即
?l1Es??(t2?t1)Es l?l3?式中，Es— 预应力钢筋的弹性模量，取2?105MPa。
2.2.4 预应力筋松弛引起的应力损失（?l4）
钢筋在持续高应力作用下，会产生随时间变化而增加的变形（内部晶体结构蠕变）。如果预应力筋束在一定的张拉应力作用下，长度保持不变，则预应力筋束中的应力将会随时间延长而降低，这就是钢筋的松驰引起的应力损失。其计算方法如下。
①、采用普通松弛预应力钢丝或钢绞线 [10,17]：
?l4?0.4?(?confptk?0.5)?con
其中一次张拉时，??1；超张拉，??0.9。 ②、采用低松弛预应力钢丝或钢绞线：
当?con?0.7fptk时，?l4?0.125(?confptk?0.5)?con
当0.7fptk??con?0.8fptk时，?l4?0.2(?confptk?0.5)?con
③、对热处理钢筋：一次张拉 ?l4?0.05?con
超张拉 ?l4?0.03?con
预应力筋松弛引起的应力损失的特点：
①、钢筋初始拉应力越高，其应力松驰愈大；初始应力小，其应力松驰愈小。当
预应力筋的初始张拉控制应力小于钢筋极限强度的50％时，松驰量很小，松弛损失可以不考虑。
②、钢筋的松驰量与钢筋的品质有关，一般低松驰筋的松驰值不到普通松驰筋的
1/3。
③、钢筋松驰与时间有关，前期发展较快，一天后可完成50％，以后渐趋稳定。 ④、采用超张拉，并保持数分钟后，再降至设计值，可使松驰减少50％左右。 ⑤、钢筋松驰随温度升高而增加。
2.2.5 混凝土收缩和徐变引起的应力损失（?l5）
对于混凝土结构构件来说，在持续应力作用下，随着时间的延续，混凝土会
产生收缩和徐变，导致预应力混凝土结构构件缩短，因而引起应力损失，其值为：
对先张法构件：
45?220?pc/fcu45?220， ??/l5?/pc?l5?
/fcu1?15?/1?15?/对于后张拉法构件：
25?220?pcf//cu25?220 ，
?/pc?l5?
1?15???/l5/fcu1?15?/式中：?l5，?l/5— 受拉区、受压区预应力筋中由于混凝土收缩徐变所产生的预应
力损失；
/— 受拉区、受压区预应力筋在各自合力点所产生的混凝土法向压应?pc,?pc力；
?,?/— 受拉区、受压区预应力筋与非预应力筋的配筋率（其值为受拉区和
受压区预应力筋和非预应力筋的截面面积与混凝土结构截面面积之比）；
/— 施加预应力时的混凝土立方体抗压强度。 fcu
2.2.6 混凝土弹性压缩引起的预应力损失（?l6）
采用后张拉施工时，由于受张拉设备的限制，无法对所有的预应力筋束同时进行张拉。通常采用分批张拉的工艺，这样后批张拉的预应力筋引起混凝土构件的弹性变形导致先批张拉的预应力钢筋产生应力损失，即混凝土弹性压预应力损失。其值可按下式计算[18-20]：
?l6??EP???PC
式中：??PC— 在计算截面先张拉的钢筋中心处，由后张拉各批钢筋产生的混凝土
法向应力，可由材料力学方法求出；
?EP— 预应力钢筋的弹性模量与混凝土弹性模量的比值；
以上各项计算预应力损失，可作为设计的依据，但是由于材料、施工条件等的不同，实际的预应力损失值与按上述方法计算的数值会有所出入。为了确保预 应力混凝土结构在施工、使用阶段的安全，除加强施工管理外，还应作好应力
损失的实测工作，用实测的应力损失值来调整张拉应力。
2.3 精确估算法（时步分析法）
时步分析法是精确计算某时段预应力构件的预应力损失的方法[15]。其原理是将时间分成若干小段，每一小段时间内钢筋的应力看作常量，其值为前一时段末钢筋内的应力。计算出每一时段内的应力损失，并从钢筋应力中将这一损失减去，即得该时段末钢筋的应力并作为下一时段钢筋中的应力。每一时段预应力损失的总和即为总预力损失。通过减少时段的长度，增加时段的数目，可得到所需精度的值。这种方法计算量大，需借助计算机及相关软件完成。因此过去几十年中没有得到很好的普及，但随着计算机技术的发展，未来将会得到越来越广泛的运用。
3 预应力损失组合
预应力损失并不是同时发生的,而是按不同张拉方式分阶段发生，故应按受力阶段对预应力损失值进行组合，然后才能确定不同受力阶段的有效预应力值。根据应力损失出现的先后次序以及完成终值所需的时间，分先张法和后张法，按预加应力和使用两个阶段对预应力损失值进行组合，具体见表3-5：
表3-5 各阶段预应力损失的组合
预应力损失的组合 混凝土受压前 （第一批）的损失 混凝土受压后 （第二批）的损失 先张法构件 后张法构件 ?l1??l2??l3??l4 ?l5 ?l1??l2 ?l4??l5??l6
4 减少预应力损失的控制方法
预应力的损失对于预应力混凝土结构是不利的。应通过合理的设计，采取妥善的施工措施,尽可能减少预应力的损失[21,22]。
1） 尽量减少垫板的块数,并提高锚具的强度和刚度，以减少锚具变形而引起的预应力损失；
2） 对于张拉长度较长的连续梁结构，采用两端张拉法和超张拉法，减少钢筋与孔道壁的摩擦而引起的预应力损失。
3） 用在钢模上张拉钢筋,将钢模和构件一起加热养护，以减少钢筋与台座间的温差而引起的温度预应力损失；
4） 用早强的高标号混凝土,减少水泥用量,降低水灰比,振捣密实,加强养护以减少砼收缩和徐变而引起的预应力损失。