第三章：弹性变形及其本构方程
3-5．试依据物体三向受拉，体积不会缩小的体积应变规律，来证明泊松比V的上下限为0＜V＜
1； 2σ11=σ
22=σ33=p σ12=σ23=σ31=0
证明：当材料处于各向等值的均匀拉伸应力状态下时，其应力分量为：
p，e为体积应变。 e将上述应力分量的值代入广义胡克定律：?ij?2G?ij???ije 得：
如果我们定义材料的体积弹性模量为k，则显然：k=
?p?2G?1??e??p?2G?2??e?p?2G???e3??三式相加得：3p??3??2G?e
1?2G?3?????2G……………………（1） 33将p=ke代入上式得：k?由弹性应变能u0的正定性（也就是说在任何非零的应力值作用下，材料变形时，其弹
性应变能总是正的。）知k＞0，E＞0，G＞0。
因：u0?uor?uod?1211I1?J2?ke2?Geijeij 18k2G2我们知道体积变形e与形状变化部分，这两部分可看成是相互独立的，因此由uo的正
定性可推知： k＞0，G＞0。 而又知： E?9kG 所以：E＞0。
3k?G我们将（1）式变化为：
k?
222GV2G?1?2V??6GV2G?1?V?2?1?V?EEG???G?????331?2V3?1?2V?3?1?2V?3?1?2V?2??1?V?3?1?2V??2G?1?V?……………………………………（2） 3?1?2V?由（2）式及k＞0， G＞0 ，E＞0知：1+V≥0，1-2V≥0。 解得：-1≤V≤
1。 2但是由于到目前为止，还没有发现有V＜0的材料，而只发现有V值接近于其极限值
12的材料（例如：橡胶、石腊）和V值几乎等于零的材料（例如：软木）。因此，一般认为泊松比V的上、下限值为
3-10．直径为D=40mm的铝圆柱体，紧密地放入厚度为??2mm的钢套中，圆柱受轴向压力P=40KN。若铝的弹性常数据E1=70Gpa.V1=0.35,钢的弹性常数E=210Gpa。试求筒内的周向应力。
P111和0，所以得：0＜V＜ 或：0≤V≤； 222解：设铝块受压?1??2??q 而?3??40?1031??42?10?44??100?
则周向应变
Q1?铝?E铝?100????q?r?q???? ???????2σ1=σ2=qrDS1q?4?1010q?钢??E钢2?0.2?10?2E钢QσασZ
∵ ?铝??钢 q=2.8MN/m2 钢套 ???qDσ?28MN/m2
2tqvqr?r? ； ??? ； ?z?0 ； ?r?E??1；
2tt2σ1Pσ1=σ1
4-14.试证明在弹性范围内剪应力不产生体积应变，并由纯剪状态说明v=0。
证明：在外力作用下，物体将产生变形，也即将产生体积的改变和形状的改变。前者称为体变，后者称为形变。 并且可将一点的应力张量σ力张量、偏应变张量。
ij
和应变张量ε
ij
分解为，球应力张量、球应变张量和偏应
??ij??m?ij?sij ??????emijij?ij而球应变张量只产生体变，偏应变张量只引起形变。
通过推导，我们在小变形的前提下，对于各向同性的线弹体建立了用球应力、球应变
分量和偏应力分量，偏应变分量表示的广义胡克定律：
???m?3k?m?ke???????1? ????????2???sij?2Geij? (1) 式中：e为体积应变 e??x??y??z??1??2??3?I1由（1）式可知，物体的体积应变是由平均正力σm确定，由eij中的三个正应力之和为
令，以及（2）式知，应变偏量只引起形变，而与体变无关。这说明物体产生体变时，只能是平均正应力σm作用的结果，而与偏应力张量无关进一步说就是与剪应力无关。物体的体积变形只能是并且完全是由球应力张量引起的。
由单位体积的应变比能公式：uo?uov?uod?只能是由球应力分量引起的。
当某一单元体处于纯剪切应力状态时：其弹性应变比能为：
31?m?m?sijeij；也可说明物体的体变22uo?uov?uod?0?121?v2?xy??xy 2GE由uo的正定性知：E>0，1+v>0.得：v>-1。
由于到目前为止还没有v<0的材料，所以，v必须大于零。即得：v>0。
3-16．给定单向拉伸曲线如图所示，εs、E、E′均为已知，当知道B点的应变为ε时，试
求该点的塑性应变。
解：由该材料的σ—ε曲线图可知，该种材料为线性强化弹塑性材料。由于B点的应变已进入弹塑性阶段，故该点的应变应为：εB=ε=εe+εp 故：εp=ε-εe
????E???11???E??????E?s?E?????s???????ee???? EE???EEE??E???E???s?1???s???1????s?1?? EEEE?E????E???????s??1??；
E??
Otg-1Eεstg-1EεεσσsAtg-1E′CB
3-19．已知藻壁圆筒承受拉应力?z??s2及扭矩的作用，若使用Mises条件，试求屈服时扭
转应力应为多大？并求出此时塑性应变增量的比值。
解：由于是藻壁圆筒，所可认圆筒上各点的应力状态是均匀分布的。据题意圆筒内任意一点的应力状态为：（采用柱坐标表示）
???0，?r?0，?z??s2；?r??0，??z??；?zr?0；
于是据miess屈服条件知，当该藻壁圆筒在轴向拉力（固定不变）ρ及扭矩M（遂渐增大，直到材料产生屈服）的作用下，产生屈服时，有：
1?2222?2 ?s??r??????????z????z??r??6??r2????2z??zr????2?1???s???s?1??22???6?????????6?????
2222?2?????????2s2212121解出τ得：???s2；
τ就是当圆筒屈服时其横截面上的扭转应力。 任意一点的球应力分量σ
m为：
?m?6????r??z3??s6
；sz??z??m?；
应力偏量为：s??????m???s；sr??r??m???s6?s2??s6??s3；
s?r?srz???r??rz?0；sz???z????由增量理论知：d?ij?sijd? 于是得：d???d?s???p?s2p?s6d?；d?rp?d?sr???s6d?；d?zp?d?sz??s3d?；
pd??pr?d?s?r?0；d?rz?d?srz?0；d?zp??d?sz???s2d?
所以此时的塑性应变增量的比值为：
??sp：d?zpd??p：d?rp：d?zp：d??pr：d?rz?????6???s?：????6?s??s：：0：0： ?32?p也即：d??p：d?rp：d?zp：d??pr：d?rz：d?zp：（-1）：2：0：0：6； ??（-1）
v?3-20．一藻壁圆筒平均半径为r，壁厚为t，承受内压力p作用，且材料是不可压缩的，
1；2讨论下列三种情况： （1）：管的两端是自由的； （2）：管的两端是固定的； （3）：管的两端是封闭的；
分别用mises和Tresca两种屈服条件讨论p多大时，管子开始屈服，如已知单向拉伸试验σr值。
解：由于是藻壁圆筒，若采用柱坐标时，σr≈0，据题意首先分析三种情况下，圆筒内任意一点的应力状态：
pr??1；?r?0??z??2??3?0 tprvprpr??1；?r?0??3；?z?v???????2； （2）：???tt2tprpr??1；?r?0??3；?z???2； （3）：???t2t（1）：???显然知，若采用Tresca条件讨论时，（1）、（2）、（3）三种情况所得结果相同，也即：
?max?k??s?解出得：p??1??32???2?pr?s?； 2t2?str；
若采用mises屈服条件讨论时，则（2）（3）两种情况所得结论一样。于是得： （1）：2????1??2????2??3????3??1?2s222?pr??pr???????? ?t??2t?22解出得：p??str2s；
222pr??prpr??pr??（2）、（3）：2????????0???0??
2t??2tt??t??解出得：p?
3-22．给出以下问题的最大剪应力条件与畸变能条件：
（1）：受内压作用的封闭藻壁圆管。设内压q，平均半径为r，壁厚为t，材料为理想弹塑
性。
（2）：受拉力p和旁矩作用的杆。杆为矩形截面，面积b×h，材料为理想弹塑性。 解（1）：由于是藻壁圆管且
2?st3r；
t<<1。所以可以认为管壁上任意一点的应力状态为平面应力状r态，即σr=0,且应力均匀分布。那么任意一点的三个主应力为：
???qrqr??1；?r?0??3；?z???2； t2t