又不等式x2f(x)?0的解集，即不等式f(x)?0的解集．所以答案为(??,?2)∪（0，2）．
变式1. 已知定义在(??,0)上的可导函数，其导函数为f?(x)，且有2f(x)?xf?(x)?x2，则不等式 (x?2014)2f(x?2014)?4f(?2)?0的解集为（ C ）
A(??,?2012) B. (?2012，0) C. (??,?2016) D. (?2016，0) 变式2.函数f(x)的定义域为R，f(?2)?2016，对任意x∈R，都有f?(x)?2x成立，则不等式
f(x)?x2?2012的解集为（ C ）
A. (?2,2) B. (?2,??) C. (??,?2) D. (??,??)
变式3. 设y?f(x)是定义在R上的函数，其导函数为f?(x)，若f(x)?f?(x)?1，f(0)?2017,则不等式f(x)ex?2016?ex的解集为（ D ）
A. (2016,??) B. (??,0)?(2016,??) C. (??,0)?(0,??) D. (0,??)
变式4.函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(?2)?0,且x?0时,f(x)?xf?(x)?0,则不等式
xf(x)?0的解集是___[?2,0]?[2,??)_______（提示：构造的g(x)?xf(x)为奇函数，f(0)?0） g(?3)?0，例4设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0，则不等式f(x)g(x)?0的解集为 (?3,??)
变式1．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数，当x?0时，f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0，
g(?3)?0，则不等式f(x)g(x)?0的解集为 (??,?3)?(0 , 3 . 变式2．已知R上的函数f(x)、g(x)满足
f(x)'x)g(x)?f(x)g('x)?ax，且f(g(x)，若
f(1)(f1)?5??g(1)(g1)?2，
1(0，)则关于x的不等式logax?1的解集为 2 .
变式3. 设奇函数f(x)定义在(??,0)?(0,?)上，其导函数为f?(x)，且f??????0，当0?x??时，?2??????f??x?sinx?f?x?cosx?0，则关于x的不等式f?x??2f??sinx的解集为_(?,0)?(,?).
66?6?（提示：构造的g(x)?f(x)为偶函数） sinx
四、构造函数法求值
6
例1．设f(x)是R上的可导函数，且f'(x)??f(x)，f(0)?1，f(2)?1.则f(1)的值为 . e2提示：由f'(x)??f(x)得f'(x)?f(x)?0，所以exf'(x)?exf(x)?0，即[exf(x)]'?0， 设函数F(x)?exf(x)，则此时有1?F(2)?F(0)?1， 故F(x)?exf(x)?1，f(1)?1 e?变式．已知f(x)的导函数为f'(x)，当x?0时，2f(x)?xf'(x)，且f(1)?1，若存在x?R，使
f(x)?x2，则x的值为 1 .（提示：构造g(x)?例2．已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足
f(x)） 2xf(x)?ax，且f'(x)g(x)?f(x)g'(x)， g(x)?f(n)?31f(1)f(?1)5*??，若有穷数列??(n?N)的前n项和等于，则n等于 5 .
32g(1)g(?1)2?g(n)?解：∵ f'(x)g(x)?f(x)g'(x)，∴[f(x)f?(x)g(x)?f(x)g?(x)]???0， g(x)g2(x)即函数
f(x)f(1)f(?1)5?ax单调递减，∴0＜a＜1．又??， g(x)g(1)g(?1)2即a?151? ∴解得a?或a=2（舍去）． a22∴
f(x)1f(n)1n?()x，即?()， g(x)2g(n)212n11，公比q?的等比数列， 221n1n31∴Sn?1?()，由Sn?1?()?，解得n=5。
2232数列{()}是首项为a1?xg(x)?0，f?(x)?g(x)?f(x)g?(x)，变式1． 已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数，且f(x)?ag(x)
（a?0，且a?1）。
?f(n)?f(1)f(?1)5??，若数列??的前n项和大于62，则n的最小值为（ A ） g(1)g(?1)2?g(n)? A 8 B 7 C 6 D 5
x变式2．已知f(x)、g(x)都是定义在R上的函数，f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0，f(x)g(x)?a，
f(1)g(1)?f(?1)g(?1)?是（ ） A．
5．在区间[?3,0]上随机取一个数x， f(x)g(x)的值介于4到8之间的概率2C．
1 3B．
3 81 2D．
2 37
解：由题意，f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0，∴[f(x)g(x) ]'＜0， ∴函数f(x)g(x)在R上是减函数，∵f(x)g(x)?ax，∴0＜a＜1 ∵f(1)g(1)?f(?1)g(?1)?5． ∴a?1?5∴a?1
a222∵f(x)g(x)的值介于4到8，∴x?[?3,?2]
∴在区间[?3,0]上随机取一个数x，f(x)g(x)的值介于4到8之间的概率是P?
1
，故选A． 3
【模型总结】
关系式为“加”型
（1）f'(x)?f(x)?0 构造[exf(x)]'?ex[f'(x)?f(x)] （2）xf'(x)?f(x)?0 构造[xf(x)]'?xf'(x)?f(x)
（3）xf'(x)?nf(x)?0 构造[xnf(x)]'?xnf'(x)?nxn?1f(x)?xn?1[xf'(x)?nf(x)]
（注意对x的符号进行讨论）
关系式为“减”型
f(x)f'(x)ex?f(x)exf'(x)?f(x)（1）f'(x)?f(x)?0 构造[x]'? ?e(ex)2ex（2）xf'(x)?f(x)?0 构造[f(x)xf'(x)?f(x)]'? 2xxf(x)xnf'(x)?nxn?1f(x)xf'(x)?nf(x)（3）xf'(x)?nf(x)?0 构造[n]'? ?x(xn)2xn?1（注意对x的符号进行讨论）
构造函数法是在求解某些数学问题时，根据问题的条件或目标，构想组合一种新的函数
关系，使问题在新函数下转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段。构造函数法解题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性。在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要解决的目标。
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