【点评】本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、线段垂直平分线性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会设参数解决问题，属于中考压轴题．
26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+
x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），
与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，
求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；
（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件
的点E′的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）先求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标，再用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角
形；
（2）先求出S△PCD最大时，点P（
，），然后判断出所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA
的长，计算即可；
（3）△A′C1E′是等腰三角形，分三种情况分别建立方程计算即可．
【解答】解：（1）△ABC为直角三角形， 当y=0时，即﹣x2+
x+3=0，
∴x1=﹣，x2=3
∴A（﹣，0），B（3，0），
∴OA=，OB=3，
当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
∴OC=3，
根据勾股定理得，AC2=OB2+OC2=12，BC2=OB2+OC2=36，
∴AC2+BC2=48，
∵AB2=[3﹣（﹣）]2=48，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
（2）如图，
∵B（3，0），C（0，3），
x+3，
，
），
∴直线BC解析式为y=﹣过点P作∥y轴， 设P（a，﹣ a2+∴G（a，﹣∴PG=﹣a2+
a+3），
a+3）， a，
设点D的横坐标为xD，C点的横坐标为xC， S△PCD=×（xD﹣xC）×PG=﹣∵0＜a＜3∴当a=
，
（a﹣
）2+ ，
时，S△PCD最大，此时点P（
将点P向左平移个单位至P′，连接AP′，交y轴于点N，过点N作MN⊥抛物线对称轴于点M，
连接PM，点Q沿P→M→N→A，运动，所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长， ∴P（∴P′（
，，
） ），
x+，
，
+
=
；
∵点A（﹣，0），
∴直线AP′的解析式为y=当x=0时，y=， ∴N（0，），
过点P′作P′H⊥x轴于点H， ∴AH=
，P′H=
，AP′=
∴点Q运动得最短路径长为PM+MN+AN=（3）在Rt△AOC中， ∵tan∠OAC=
=
，
∴∠OAC=60°，
∵OA=OA1，
∴△OAA1为等边三角形，
∴∠AOA1=60°， ∴∠BOC1=30°， ∵OC1=OC=3， ∴C1（
，4），
+2﹣）2=a2﹣
a+7，
a+49，
，7﹣
），
，7+
），或（
，7﹣
），（
，
，），
∵点A（﹣，0），E（
∴AE=2，
∴A′E′=AE=2， ∵直线AE的解析式为y=设点E′（a，∴A′（a﹣2
，
a+2），
﹣2） ）2+（﹣
x+2，
∴C1E′2=（a﹣2C1A′2=（a﹣2
）2+（﹣2﹣）2=a2﹣
，
①若C1A′=C1E′，则C1A′2=C1E′2 即： a2﹣∴a=∴E′（
， ，5），
a+7=a2﹣
a+49，
②若A′C1=A′E′，
∴A′C12=A′E′2 即： a2﹣∴a1=∴E′（
a+49=28， ，a2=，7+
），或（
（舍）， ）， ，5），（
③若E′A′=E′C1，
∴E′A′2=E′C12 即： a2﹣∴a1=∴E′（
a+7=28， ，a2=，3+
即，符合条件的点E′（3+
）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了函数极值的确定方法，等边三角形的判定和性质，勾股定
理的逆定理，等腰三角形的性质，解本题的关键是分类讨论，也是解本题的难点．