七、平分几何图形的周长与面积问题
例14 如图7，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.点E?在下底边BC上，点F在腰AB上.（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由.
解（1）由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28.
AFD过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K.
则可得，FG＝
12?x×4， 5BG K ECwww.czsx.com.cn图7
所以S△BEF＝
12224BE·FG＝－x+x（7≤x≤10）. 2552224x+x＝14，解这个方程，得x1＝7，x2＝5（不合题55（2）存在.由（1）得－意，舍去），
所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE＝7. （3）不存在.假设存在，显然有S△BEF∶S多边形AFECD ＝1∶2，
即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.则有－
221628x+x＝， 553整理，得3x2－24x+70＝0，此时的求根公式中的b2－4ac＝576－840＜0， 所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.