第八章 实数的完备性
1 实数连续性的等价描述
1．求数列{Jn}的上、下确界： (1) xn?1?1; n (2) xn?n[2?(?2)n];
1knn?1; (4) xn?[1?(?1)]n(5) xn?1?2(6) xn?nn(?1n) (3) x2k?k,?x2k?1?1???(k?1,2,3,?);
;n?12n?cos. n?13 2．设f(x)在D上定义，求证： (1) sup{?f(x)}??inff(x);
x?Dx?D (2) inf{?f(x)}??supf(x).
x?Dx?Dsp 3．设??uE，且??E，试证自E中可选取数列{xn}且xn互不相同，使limxn??；
x??又若??E，则情形如何?
4．试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于??的数列必有下确界，趋于??的数列
必有上确界．
5．试分别举出满足下列条件的数列： (1)有上确界无下确界的数列；
(2)含有上确界但不含有下确界的数列； (3)既含有上确界又含有下确界的数列；
(4)既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限．
2 实数闭区间的紧致性
1．利用有限覆盖定理9．2证明紧致性定理9．4． 2．利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限． 3．用区间套定理证明单调有界数列必有极限．
4．试分析区间套定理的条件：若将闭区间列改为开区间列，结果怎样?若将条件
[a1,b1]?[a2,b2]??去掉或将条件bn?an?0去掉，结果怎样?试举例说明．
5．若{xn}无界，且非无穷大量，则必存在两个子列xnk??,xmk?a (a为有限数)． 6．有界数列{xn}若不收敛，则必存在两个子列xnk?a,xmk?b?????b)．
7．求证：数列{an}有界的充要条件是，{an}的任何子数列{ank}都有收敛的子数列．
8．设f(x)在[a,b]上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证：f(x)在[a,b]上有界．
9．设f(x)在[a,b]无界，求证：存在c?[a,b]，对任给??0，函数f(x)在
(c??,c??)?[a,b]上无界．
f(x),?lim?f(x)存在． 10．设f(x)是(a,b)上的凸函数，且有上界，求证：lim?x?ax?b11．设f(x)在[a,b]上只有第一类间断点，定义
?(x)?|f(x?0)?f(x?0)|.
求证：任意??0,??(x)??的点x只有有限多个．
12．设f(x)在[0,??)上连续且有界，对任意a?(??,??)，
f(x)?a在[0,??)上只有有限个根或无根，求证：limf(x)存在．
x???
3 实数的完备性
1，设f(x)在(a,b)连续，求证：f(x)在(a,b)一致连续的充要条件是
x?a?limf(x)与limf(x)都存在， ?x?b2．求证数列xn?1?11???当n??时的极限不存在． 2n3．利用柯西收敛定理讨论下列数列的收敛性： (1) xn?a0?a1q?a2q???anq(|q|?1,|ak|?M);
nsin1sin2sinn?2???n; 22211n?11. (3) xn?1?????(?1)23n(2) xn?1?(存)在的充要条件是：对任意给定??0，存在??0，当 4．证明limfxx?x00?|x'?x0|??,?0?|x''?x0|??时，恒有
|f(x')?f(x'')|??.
5．证明f(x)在x0点连续的充要条件是：任给??0，存在??0，当
0?|x'?x0|??,?0?|x''?x0|??时，恒有
|f(x')?f(x'')|??.
6．证明下列极限不存在： (1) x1n?n?n?1cos2n?3; (2) xnn(?1)nn?1?2;
(3) x2n?sin(?n?n);
(4) xn?cosn; (5) xn?tann . 7．设f(x)在(a,??)上可导，|f'x()单|调下降，且xlim???f(x)存在，xlim???xf'(x)?0．
8．设f(x)在(??,??)可导，且|f'(x)|?k?1，任给x0，令
xn?1?f(xn)??(n?0,1,2,?),
求证，
(1) limx??xn存在；
(2) 上述极限为x?f(x)的根，且是唯一的． 9．设f(x)在[a,b]满足条件：
(1) |f(x)?f(y)|?k|x?y|,??x,y?[a,b],???k?1; (2) f(x)的值域包含在[a,b]内．
则对任意x0?[a,b]，令xn?1?f(xn)(n?0,1,2,?)，有 (1) limx??xn存在；
求证(2)方程x?f(x)的解在[a,b]上是唯一的，这个解就是上述极限值．
4 再论闭区间上连续函数的性质
1．设f(x)在[a,b]上连续，并且最大值点x0是唯一的，又设x0?[a,b]，使
limf(xn)?f(x) 0，求证
x??limxn?x0
x?? 2．设f(x)在[a,b]上连续，可微，又设 (1) minf(x)?p?maxf(x);
a?x?ba?x?b (2) 如果f(x)?p，则有f'(x)?0， 求证：f(x)?p的根只有有限多个．
3．设f(x)在[a,b]连续，f(a)?0，f(b)?0，求证：存在??(a,b)，使f(?)?0，且f(x)?0(??x?b)．
4．设f(x)是[a,b]上的连续函数，其最大值和最小值分别为M和m(m?M)，求证：必存在区间[?,?]，满足条件：
(1)f(?)?M,?f(?)?m或f(?)?m,?f(?)?M； (2) m?f(x)?M，当x?(?,?)．
x)?f(xa?)． 5．f(x)在[0,2a]连续，且f(0)?f(2a)，求证：存在x?[0,a]，使f(
6．设f(x)在[a,b]上连续，且取值为整数，求证：f(x)?常数． 7．设f(x)在(a,b)上一致连续，a,b???，证明f(x)在(a,b)上有界； 8．若函数f(x)在(a,b)上满足利普希茨(Lipschitz)条件，即存在常数K，使得
|f(x')?f(x'')|?K|x'?x''|,??x',x''?(a,b).
证明：f(x)在(a,b)上一致连续．
9．试用一致连续的定义证明：若函数f(x)在[a,c]和[c,b]上都一致连续，则f(x)在
[a,b]上也一致连续．
10．设f(x)在(??,??)上连续，且limf(x)与limf(x)存在．证明；f(x)在
x???x???(??,??)上一致连续．
11．若f(x)在区间X (有穷或无穷)中具有有界的导数，即|f'(x)|?M,??x?X，则
f(x)在X中一致连续．
12．求证：f(x)?xlnx在(0,??)上一致连续．
x??? 13．设f(x)在(a,??)上可导，且limf'(x)???，求证：f(x)在(a,??)上不一致连续．
14．求证：f(x)?xlnx在(0,??)上不一致连续．
5 可积性
1．判断下列函数在区间[0,1]上的可积性：
(1) f(x)在[0,1]上有界，不连续点为x???(n?1,2,?)；
1n??sgn(sin),??x?(0,1],?(2) f(x)?? x??0,????????????????x?0;?1?1?????,??x?(0,1],(3) f(x)??x?x?
?0,?????????????x?0;??1,??x?(0,1],???1?(4) f(x)????
x?????0,???????x?0. 2．讨论f(x),?f(x),|?f(x)|三者间可积性的关系． 3．设f(x),?g(x)都在[a,b]上可积，证明：
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