??3x＋2，x＜1，
5．已知函数f(x)＝?2若f(f(0))＝4a，则实数a＝________．
?x＋ax，x≥1，?
解析：f(0)＝2，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a， ∴a＝2. 答案：2
6．设f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝x＋3，则f(1)＝______． 解析：令x＝1得，f(－1)＋2f(1)＝4， 再令x＝－1得，f(1)＋2f(－1)＝2. 两式联立消去f(－1)得，f(1)＝2. 答案：2
7．已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________． 解析：由f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24， 得(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3＝x2＋10x＋24， 即a2x2＋2abx＋b2＋4ax＋4b＋3＝x2＋10x＋24. a＝1，??
比较系数，得?2ab＋4a＝10，
??b2＋4b＋3＝24，
??a＝－1，??a＝1，
解得?或?则5a－b＝2.
??b＝－7b＝3，??
2
答案：2
??x－3 （x≥9），8．已知f(x)＝?则f(7)＝______．
?f（f（x＋4）） （x<9），?
解析：f(7)＝f(f(7＋4))＝f(f(11))＝f(11－3) ＝f(8)＝f(f(8＋4))＝f(f(12)) ＝f(12－3)＝f(9) ＝9－3＝6. 答案：6 三、解答题
9．已知函数y＝f(x)的图像如图所示，求f(x)的解析式． 解：当x≤－2时，图像为一条射线，过(－2，0)与(－4，3)，
设y＝ax＋b，将两点代入，得－2a＋b＝0，及－4a＋b＝3
3，解得a＝－，b＝－3，
2
3
所以它的解析式为y＝－x－3(x≤－2)；
2
当－2＜x＜2时，图像为一条线段(不包括端点)，它的解析式为y＝2(－2＜x＜2)； 当x≥2时，图像为一条射线，过(2，2)与(3，3)， 设y＝cx＋d，
将两点代入，得2c＋d＝2，3c＋d＝3，解得c＝1，d＝0， 所以它的解析式为y＝x(x≥2)．
??
综上得f(x)＝?2 （－2＜x＜2），
??x （x≥2）.
3
－x－3 （x≤－2），2
10．甲、乙两车同时沿某公路从A地驶往300 km外的B地，甲车先以75 km/h的速度行驶，在到达AB中点C处停留2 h后，再以100 km/h的速度驶往B地，乙车始终以速度v行驶．
(1)请将甲车离A地的距离x(km)表示为离开A地时间t(h)的函数，并画出这个函数图像； (2)若两车在途中恰好相遇两次(不包括A、B两地)，试确定乙车行驶速度v的取值范围． 75t，0≤t＜2，??
解：(1)x＝?150，2≤t≤4，
??150＋（t－4）×100，4＜t≤5.5.它的图像如下图①所示；
(2)由已知，乙车离开A地的距离x(km)表示为离开A地的时间t(h)的函数为x＝300
vt(0≤t≤)，其图像是一条线段．
v
75
由图像知，当此线段经过(4，150)时，v＝(km/h);
2600
当此线段经过点(5.5，300)时，v＝(km/h)．
11
75600∴当＜v＜时，两车在途中相遇两次．(如上图②)．
211
2．3 映 射
[读教材·填要点]
1．映射
若两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.A中的元素x称为原像，B中的元素y称为x的像，记作f：x→y.
2．一一映射
如果映射f：A→B满足：
(1)A中的每一个元素在B中都有唯一的像与之对应； (2)A中的不同元素的像也不同； (3)B中的每一个元素都有原像，
那么就称映射f：A→B是一一映射，一一映射也叫作一一对应，一一映射是特殊的映射． 3．函数与映射的区别与联系
函数是一种特殊的映射，对于映射f：A→B，当两个集合A，B均为非空数集时，则从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数．在函数中，原像的集合称为函数的定义域，像的集合称为函数的值域．
[小问题·大思维]
1．映射定义中的两个非空集合A和B一定是数集吗？ 提示：不一定，也可以是点集，或由图形组成的集合等． 2．在映射f：A→B中，B中的元素都有原像与之对应吗？ 提示：不一定，如在映射f：A→B如图所示：
B集合中的元素5，在A集合中无原像与之对应．
3．从集合A到集合B的映射，与从集合B到集合A的映射是同一个映射吗？ 提示：不是．A，B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射一般是不同的，即映射具有方向性．
[研一题]
[例1] 判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是
函数？为什么？
(1)A＝R，B＝{非负实数}，对应法则f：y＝x2，x∈A，y∈B； (2)A＝R，B＝{正实数}，对应法则f：y＝x2，x∈A，y∈B；
(3)A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，对应法则f：A中的元素对应它的平方根； (4)A＝{x|x≥2}，B＝{y|y＝x2－4x＋3}，对应法则f：y＝x－3，x∈A，y∈B.
[自主解答] (1)是映射，且是函数，但不是一一映射．因为A中的任何一个元素，在B中都能找到唯一的元素与之对应．又A、B均为非空数集，所以此映射是函数．因为x以及x的相反数在B中的对应元素相同，所以不是一一映射；
(2)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数或者一一映射．因为A中的元素0，在集合B中没有对应元素；
(3)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数或者一一映射．因为任何正数的平方根都有两个值，即集合A中的任何元素，在集合B中都有两个元素与之对应；
(4)当x≥2时，x－3≥－1，而y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，因而能构成映射，且是函数，并且B中每一个元素在A中都有唯一的一个原像，所以又是一一映射．
[悟一法]
判断对应f：A→B是否为A到B的映射，应注意两点： (1)明确集合A、B中的元素；
(2)判断A中的每一个元素是否在集合B中有唯一的元素与之相对应，若进一步判断是否为一一映射，还需要注意B中的每个元素在A中是否有原像，集合A中的不同元素对应的像是否相同．
[通一类]
1．下列对应是不是从A到B的映射？ (1)A＝R，B＝{正实数}，f：x→|x|；
(2)A＝{x|x≥2，x∈N＋}，B＝{y|y≥0，y∈Z}，f：x→y＝x2－2x＋2； (3)A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝±x.
解：(1)中，当x＝0∈A时，|x|＝0?B，即A中的元素0按对应法则f：x→|x|在B中没有像，∴(1)不是映射；
(2)中，∵y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥0， ∴对任意的x，总有y≥0.
又当x≥2，且x∈N＋时，x2－2x＋2必为整数，即y∈Z.由A＝{x|x≥2，x∈N＋}， B＝{y|y≥0，y∈Z}知， 当x∈A时，x2－2x＋2∈B，
∴对A中每一个元素x，按对应法则f：x→y＝x2－2x＋2在B中都有唯一的y与之对应，∴(2)是映射；
(3)中，对任意的x∈A＝{x|x＞0}，按对应法则f：x→y＝±x，存在两个y∈B＝{y|y∈R}，即y＝x和y＝－x与之对应，∴(3)不是映射.
[研一题]
[例2] 已知映射f：A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}．f：(x，y)→(x＋2y＋2，4x＋y)． (1)求A中元素(5，5)的像； (2)求B中元素(5，5)的原像． [自主解答] (1)当x＝5，y＝5时， x＋2y＋2＝17，4x＋y＝25. 故A中元素(5，5)的像是(17，25)；
??x＋2y＋2＝5，??x＝1，
?(2)令得? ?4x＋y＝5，?y＝1.??
故B中元素(5，5)的原像是(1，1)．
[悟一法]
(1)解答此类问题的关键是： ①分清原像和像；
②搞清楚由原像到像的对应关系．
(2)对于A中的元素求像，只需将原像代入对应关系即可，对于B中元素求原像，可先设出它的原像，然后利用对应关系列出方程(组)求解即可．
[通一类]
2．(1)从R到(0，＋∞)的映射f：x→|x|＋1，则R中的元素－1在(0，＋∞)中的像是________，(0，＋∞)中的元素4在R中的原像是________．
(2)在给定的映射f：(x，y)→(x＋y，x－y)下，则点(1，2)在f下的像是________，点(1，2)在f下的原像是________．
解析：(1)当x＝－1时，|x|＋1＝2， 当|x|＋1＝4时，x＝±3.
(2)把(1，2)代入(x＋y，x－y)中得点(3，－1)；
?x＝2，??x＋y＝1，令?得?
1?x－y＝2，?
?y＝－2.
31
答案：(1)2 ±3 (2)(3，－1) (，－)
22
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