12213由分类计数原理知，共有三角形：C8=48+112+56=216（个）． ?C4?C8?C4?C89．直线x=1, y=x将圆x+y=4分成四块，用5种不同的颜料给四块涂色，要求共边两块颜色互异，每块只涂一色，共有多少种不同的涂色方法？
412解：如果四块均不同色，则有A5种涂法；如果有且仅有两块同色，它们必是相对的两块，有C5?2?A42种涂法；如果两组相对两块分别同色，则有A5种涂法。
4122根据分类计数原理，得到涂色方法种数为A5=260． ?2C5A4?A522
题型7 组合应用题中的分配问题
1．6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人得一本，一人得两本，一人得三本； （4）平均分给甲、乙、丙三人； （5）平均分成三堆．
1解：（1）先在6本书中任取一本，作为一堆，有C6种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为一23123堆，有C5种取法，最后从余下的三本中取三本作为一堆，有C3种取法。故共有分法C6． C5C3=60（种）123（2）由（1）知分成三堆的方法有C6C5C3种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，123乙得两本，丙得三本的分法亦为C6． C5C3=60（种）
1233（3）由（1）知分成三堆的方法有C6种不同的分配方案，故一人C5C3种，但每一种分组方法又有A31233得一本，一人得两本，一人得三本的分法有C6． C5C3A3=360（种）
2（4）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书中任取出2本的方法有C6种，甲不论用哪一种方法
2取得2本书后，乙再从余下的4本书中取2本书，有C4种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书222后，丙从余下的2本中取2本书，有C2种方法。所以一共有C6C4C2=90（种）方法．
2（5）把6本不同的书分成三堆，每堆两本与把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本的区别在于：后者相当于把六本不同的书，平均分成三堆后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有x种，那么把6本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分
3222法就应用xA3种，由（4）知把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有C6C4C2种．
所以xA33=
CCC262422，则
222C6C4C2x==15（种）． 3A3评注：本问题中的每一个小题都提出了一种类型问题，搞清类型的归属对今后解题大有裨益，其中： （1）属非均匀分组问题．（2）属非均匀定向分配问题．（3）属非均匀不定向分配问题． （4）属均匀不定向分配问题． （5）属均匀分组问题． 2．6本不同的书分成3堆，
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（1）若平均分成3堆，有多少种不同的分法？
（2）若有1堆1本，1堆2本，1堆3本，有多少种分法？ （3）若有1堆4本，另2堆各1本的不同分法有多少种？ 解：（1）假设将6本不同的书分成3堆有x 种分法，在每种分法中，再把这3堆分别给甲、乙、丙3人，
33222有A3种给法，根据乘法原理，6本不同的书平均分给3个人的不同分法有xA3=C6， ?C4?C222C62C4C2 ∴x==15（种）。 3A312（2）从6本不同的书中任取1本放成1堆，有C6种取法；再从剩下的5本书中任取2本放成1堆，有C5种3放法；最后余下的3本放成1堆，有C3种放法。因为各堆的书的数量各不相同，所以这种分堆方法与6本不13同的书分给甲1本，乙2本、丙3本完全相同，故共有分堆方法为C6=90（种）。 C52C3411（3）如果将6本不同的书分给甲4本，乙1本，丙1本共有C6C2C1种不同分法。这里给乙第1本、丙第2
本与给乙第2本、丙第1本是不同的分法，但作为分堆，第1本1堆，第2本1堆与第2本1堆、第1本1堆是相同
11C64C2C1的分堆方法。所以分堆方法是：=15（种）。 2A2
题型8 排列、组合的综合应用题
1．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：
（1）有女生但人数必须少于男生； （2）某女生一定要担任语文科代表；
（3）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；
（4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．
3241532415解：（1）先取后排，先取有C5种，共(C5=5400种． C3?C5C3)A5C3?C5C3种，后排有A544（2）除去该女生后先取后排，有C7A4=840种． 414（3）先取后排，但先安排该男生，有C7C4A4=3360种．
313（4）先从除去该男生该女生的6人中选3人有C6种，再安排该男生有C3种，其余3人全排有A3种，313共C6C3A3=360种．
2． 有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内．
（1）共有多少种放法？ （2）恰有一个盒不放球，有多少种放法？ （3）恰有一个盒内有2个球，有多少种放法？ （4）恰有两个盒不放球，有多少种放法？ 解：（1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有4种独立的放法，由分步计数原理，放法共有：4
4=256（种）．
（2）为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2，1，1的
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2三组，有C4种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可．
1212由分步计数原理，其有放法：C4=144（种）． ?C4?C3?A2（3）“恰有一个盒内放2个球”，即另外的三个盒子放1个球，每个盒子至多放1个球，即另外三个盒子中恰有一个空盒．因此，“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事．故也有144种放法．
2（4）先从四个盒子中任意拿走两个有C4种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种
放法？”从放球数目看，可分为（3，1），（2，2）两类．
312第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有C4种放法；第二类：有C4?C2312种放法．因此共有C4=14（种）． ?C2?C42由分步计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有：C4． ?14=84（种）
3．有六个球，其中3个黑球，红，白，蓝球各1个，现任取4个排成一排，有多少种不同的排法？
1解：把问题分为三类：第一类，取3个黑球，在另外三个彩球中取一个的方法有C3种，在三个黑球
111所产生的四个空中，选1个空给彩球有C4种，共有C3C4=12种；第二类，取2个黑球，在另外三个彩球22中选2个的方法有C3种，然后在四个位置中给彩球两个位置有A4种，剩下的两个位置给黑球，只有一种223排法．共有C3第三类：取1个黑球，把三个彩球全选上的方法有C3种，四个球的全排列为A4，A4=36种；34共有C3A4=24种．
4∴满足条件的排法共有12+36+24=72种．
4．如图10-3-2所示，某市（A）有四个邻县（B、C、D、E），现备有5种颜色，问有多少种不同的涂色方式，使每相邻两块不同色，且每块只涂同一种颜色？
5解：把问题分成三类：第一类，用5种颜色涂，共有A5=120种涂法； 4第二类，用4种颜色涂，选色的方法有C5种，再选1种颜色涂A有C4种方法，剩余
1的4块涂3种颜色，有且仅有一组不相邻区域涂同一种颜色，选1组不相邻区域的方
1法有2种，在余下的三种颜色中选一种颜色涂这不相邻区域有C3种方法，最后剩下两种颜色涂2个区域41123有A2种。由分步计数原理，共有C5=240种；第三类，用3种颜色涂，选色方法有C5种，?C4?2?C3?A21311涂A时，有C3种，涂B、D时有C2种，涂E、C时只有一种，由分步计数原理共有C5=60种． ?C3?C221由分类计数原理，共有120+240+60=420种不同的涂色方法．
5．已知方程x1+x2+x3+x4=100，求这个方程的自然数解的组数。
解：100为100个1的和，我们设想把这100个1，1个接1个地排起来，即1,1,1,?1.然后用3个“+”号把
?????100个这100个1隔成4组，显然，“+”号只能加在这100个1之间的99个个位置处，而且相邻两个1之间至多只能加
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1个“+”号。这样，每次划分以后，被分成的4组中分别包含的1个数，即为“方程相应的1组解”。
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故可以推得，该方程的自然数解有C99=156849（组）。
6．从5双不同的鞋子中任取4只：
（1）取出的4只鞋子中至少能配成1双，有多少种不同的取法？
（2）取出的4只鞋子，任何2只都不能配成1双，有多少种不同的取法？
2解：（1）分两类：①取出的4只鞋子恰好配成2双，有C5种取法。②取出的4只鞋子有且只有2只1能配成1双，分2步完成：第一步，从5双鞋子中任取1双，有C5种取法；第二步再分为3类：第1类：
2从余下的穿在左脚的4只鞋子中任取2只，有C4种取法； 第2类：从余下的穿在右脚的4只鞋子中任2取2只，有C4种取法； 第3类：从余下的左（或右脚）的4只中任取1只，再在余下的右（或左脚）1221111的和已取1只不相配的3只鞋子中任取1只，有C4 (C4?C4?C4C3)=120种取法。C3种取法。故共有C5212211由①，②知：共有C5?C5(C4?C4?C4C3)?130种。
（2）用“0”表示右脚的鞋子，“?”表示左脚的鞋子。
1313422① 形如0000：C5；② 形如0???：C5C4；③ 形如00??：C5C4；⑤ 形C3；④ 形如000?：C5413221344如????：C5。综上可知：有C5?C5?C4?C5?C3?C5?C4?C5?80种
4解法二：第1步，从5双不同的鞋子中任取4双，有C5种；第2步，从取出的4双的每1双中任取1414只，有(C2)种。故共有C5?(C2)?80种
4解法三：从5双不同的鞋子中任取4只，有C10种取法，除去第（1）题的情况，就是任何2只都不能4配成1双的情况，故有C10?130?80种。
147．1条长椅上有7个坐位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另1个空位与这2个相邻空位不相邻，共有几种坐法？
解：设坐位号为1，2，3，4，5，6，7。2个空位相邻可能发生在1，2；2，3；3，4；4，5；5，6；6，7共6种位置。
如果相邻的2个空位是1，2号，那么，另1个空位可以安排在4，5，6，7之一，有4种安排办法。 如果相邻的两个空位是2，3号，那么别1个空位可以安排在5，6，7之一，有3种可能。
可见，当采取“安排2个空位，再安排1个空位，再让4人入坐”的3个阶段计数时，必须对第1阶段（安排2个相邻空位）采用分类的办法，于是共有：（2·4+4·3）A4=480（种）。
解法二：把2个相邻空位看成1整体，另1个空位与这个整体不相邻，则是用4个人把2个元素隔开的典型问题。按这种想法：可先让4人坐在4个位置上，再让后2个“元素”（1个是2个作为1个整体的
42空位，另1个是单独的空位）选择被4个人造成的5个“空隙”中的2个。于是共有：A4A5=480种。
4解法三：采用以减法为主的算法。全部安排4人入坐的方法（不管空位相邻还是不相邻）数是A7，
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5从中减去不合题意的坐法数即可。不合题意的坐法包括两类：一类是3个空位相邻，这种情况下共有A5种
安排方法（把4个人与相邻的3个空位看成5个元素）；另一类是3个空位彼此都不相邻，这种情况下共
43有A4种安排办法。 ?C54543于是共有：A7?A5?A4C5=480种。
8．已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数。
（1）C?A∪B，且C中含有3个元素； （2）C∩A≠ф
解：因为A，B各含12个元素，A∩B含4个元素，故A∪B有12+12-4=20个元素。、因此满足条件（1）的
33C有：C20个；其中满足C∩A=ф的C有：C8个。
33因此同时满足（1），（2）的C有：C20-C8=1140-56=1084（个）。
9．马路上有编号1，2，3，?，10的十只路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种？
解：问题等价于在七只亮着的路灯产生的六个空挡中放入三只熄掉的路灯，因此，所求的方法种数为
3=20． C610．从6名短跑运动中中选4人参加4×100米接力赛，如果甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法？
4解：把所选取的运动员的情况分为三类：第一类，甲、乙两人均不参赛，有A4=24种；第二类，甲、1343乙两人有且只有1人参赛，共有C2C4(A4?A3)=144种；第三类，甲、乙两人都参赛， 2432有C4(A4?2A3?A2)=84种．
由分类计数原理，所有的参赛方法共有24+144+84=252种．
11．在7名运动员中选4名运动员组成接力队，参加4×100m接力赛，那么甲、乙二人都不跑中间两棒的安排方法共有多少种？
解：分类法：接力队的组队方式有4种：① 不含有甲、乙； ② 只含有甲； ③ 只含有乙；④ 甲、乙二人都在内。
444①“甲、乙二人都不在接力队内”的选法是C5种=120种；②甲在接力队的选排法有?A4?A5333322C5=120种；③乙在接力队的选排法有：2C5=120种；④甲、乙都在接力队的选排法有2C5?A2=40?A3?A32种。
433332故总的选法是：A5=400（种） ?2C5?A3?2C5?A3?2A512．今有形状，大小相同的10个球，其中红球4个，白球5个，黑球1个，若从中取出4个小球，使各种颜色的球都有的不同取法有多少种？
1221解：C4=70种． ?C5?C4?C513．有8名游客同划1条船，其中2名只会划左舷，3名只会划右舷，另3名左右两舷都会划，现要
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在两舷各排4名游客，问有多少种不同的排法？
2解：第1步，只要从左右两舷都会划的3人中选2人排左舷，剩下1人排右舷，有C3种排法；
44242第2步，把左、右两舷的4人全排列，有A4种排法。故共有C3?A4?(A4)?1728种。
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