元运算或二元代数运算。
当X＝Y＝Z时，即若?:?????，则称?为X上的二元运算。
3、设X，Y是两个非空集合，一个从X到Y的映射称为X到Y的一个一元运算。 若X=Y，则?称为X上的一元运算。也称X的一个变换。
4、设A1,A2,…,An,D为非空集合，一个从A1×A2×…×An到D的映射?称为A1,A2,…,An到D的一个n元（代数）运算。
若A1=A2=…=An=D=A，则称?为A上的n元运算。 说明：1. 最常用的是一元运算和二元运算。
5、七桥问题就变成了如下的一笔画问题：
能否笔不离开纸，把图2的“图”一笔画成，使每条线画一次且只画一次，最后笔又回到出发点？
欧拉证明了这个图不能一笔画成。 6、若G的图解已画在平(曲)面S上，而且任何两条边均不相交(除可能在端点相交外)，则图G称为嵌入平(曲)面S内。 已嵌入平面S内的图称为平面图。
若一个图可以嵌入平面，则称此图是可平面的
说明：可平面图：能画在平面上 ，但还没有画；平面图：已经画在平面上了。以后这两个概念不加区分。
7、任一非平凡树中至少有两个度为1的顶点(两片叶子)。
8、每个非平凡的连通图至少有两个顶点不是割点。
9、设G是一个(p,q)图，则
(1) 若q 11 10、若G的图解已画在平面S上，而且任何两条边均不相交(除可能在端点相交外)，则图G称为被嵌入平面S内。 已嵌入平面S内的图称为平面图。 若一个图可以嵌入平面，则称此图是可平面的 说明：可平面图：能画在平面上 ，但还没有画； 平面图：已经画在平面上了。以后这两个概念不加区分。 例如：图K4是可平面的， 图K5没有平面嵌入法； K5画不出来，并不等于就是非平面图，必须证明。实际上，K5是典型的不可平面图，还有K3,3。 11、平面图G把平面分成了若干个区域，这些区域都是连通的，称之为G的面，其中无界的那个连通区域称为G的外部面，其余的单连通区域称为G的内部面。 说明： (1) 平面图的每个内部面都是G的某个圈围成的单连通区域； (2) 一个平面图可以没有内部面，但必有外部面，而且外部面唯一； 例如：树作为平面图就没有内部面。 (3) K4有4个面，f4是外部面，f1，f2，f3都是内部面。 12、(欧拉公式)设G是(p,q)平面连通图，有f个面，则p-q+f=2。 证：用数学归纳法证明，施归纳于面f的个数： 注意：定理中的连通性是必要的。若G不连通，则定理不成立。但却有下面的结论。 推论:设G是一个具有f个面、k个分支的(p,q)平面图，则p-q+f=k+1 13、每个比赛图必有一条有向哈密顿路(即生成有向路)。 [用数学归纳法证明每个比赛图中必有有向哈密顿路] 证：设D是p个顶点的比赛图。施归纳于p: 当p=1,2时结论显然成立。 假设当有p(p≥2)时结论成立，往证对p+1个顶点的比赛图也成立。从中去掉一个顶点u，则得到一个具有p个顶点的比赛图D-u。由归纳假设D-u有哈密顿路u1,u2,…,up。 在D中，若(u,u1)∈A或(up,u)∈A，则结论成立。 今设(u1,u)∈A及(u,up)∈A，由于D是比赛图，所以u与uk(k=2,3,…,p-1)之间有且仅有一条弧，于是必有一个最大i使(ui,u)∈A且(u,ui+1)∈A。于是，u1u2…uiuui+1…up为D的一条哈密顿路。由归纳法原理知对任何p本题结论成立。 12