作业6 狭义相对论基础
6-1 惯性系S和S?的坐标在 t?t??0 时重合，有一事件发生在S?系中的时空坐标为60, 10, 0, 8?10?8．若s?系相对于s以速度u = 0.6c 沿x?x?轴正方向运动，则
??该事件在S系中测量时空坐标为( , , , )． 原题 6-1
6-2 天津和北京相距120 km．在北京某日19时整有一工厂因过载而断电，在天津同日19时0分0.0003秒有人放了一响礼炮． 试求在以 u?0.8c 速度沿北京到天津方向飞行的飞船中，观察者测量到这两个事件之间的时间间隔．哪一个事件发生在前．
原题 6-3
6-3 长为4m的棒静止在s系中xOy平面内，并与x轴成30?角，s?系以速度0.5c相对于s系沿x?x?轴正向运动，t?t??0时两坐标原点重合，求s?系中测得此棒的长度和它与x?轴的夹角．
原题 6-4
6-4 中子静止时的平均寿命为15 min 30 s，它能自发地衰变为三个粒子（质子、电子和中微子）．已知地球到太阳的平均距离为1.496?1011m．有一个中子被太阳抛 向地球，它必须具有 1.418×108 = 0.473 c m/s 的速率，才能在衰变前到达地球．
解： ????0??0
1?(uc)2 ? l?u??u?011
1?(uc)2 ? u?l2?0?(lc)2
6-5 一火箭静止在地面上测量时长度20 m，当它以 0.8 c 在空间竖直向上匀速直线飞行时，地面上观察者测得其长度为 ．若宇航员在飞船上举一次手用2.4 s，则地面上测到其举手所用时间为 ．
原题 6-6
6-6 以地球-月球作为参考系测得地-月之间的距离为 3.844?108m，一火箭以0.8 c 的速率沿着地球到月球的方向飞行，先经过地球（事件1），之后又经过月球（事件2）．要求分别用：⑴ 洛仑兹变换公式，⑵ 长度收缩公式，⑶ 时间膨胀公式，求在地球-月球参考系和在火箭参考系中观测，火箭由地球飞向月球各需要多少时间？ P369 15.4；P371 15.9 解： 取地-月系为S系，地-月距离?x?3.844?108m，固定在火箭上的坐标系为S?系，
其相对S系的速率 u = 0.8 c，则在S系中火箭由地球飞向月球的时间为
?t??xu= ?= 1.6 s
由已知 ??uc?0.8 ??11??2?5
3??⑴ 由洛仑兹变换公式 t???(t?cx) ? ?t???(?t?c?x)
可求得在火箭S?系中 ?t?= ?= 0.96 s
⑵ S?系中，测地-月距离为l?，是运动长度，由长度收缩公式 l?? l? 有 l??l? 则 ?t??l?u?t??l(u?) =?= 0.96 s
⑶ S?系中，两个事件在同一个地点发生，?t?为固有时间?0；S系中两事件时间间隔?t为运动时间?，由时间膨胀公式 ????0
?t???0?????t?=?= 0.96 s
6-7一匀质薄板静止时测得长、宽分别是a、b，质量为m，假定该板沿长度方向以接近光速的速度?作匀速直线运动，那么它的长度为 a1?(?2c2) ，质量为
m面积密度（单位面积的质量）为 1?(?2c2) ，m ．(原题6-8)
ab(1??2c2)解：∵ 沿运动方向 l?l0?，? a??a??a1?(?2c2)；m??? m?m?m∵ b ⊥ 运动方向，? b??b， ? ??m?
a?b?ab(1??2c2)
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1?(?2c2)
6-8 一静止长度为 l0 的火箭，相对于地面以速率 u 飞行，现从火箭的尾端发射一个光信号．试根据洛仑兹变换计算，在地面系中观测，光信号从火箭的尾端到前端所经历的位移、时间和速度． P370 15.6 解：
取固定在地面上的坐标系为S系，固定在火箭上的坐标系为S?系，自火箭尾端发射光信号为事件“1”， 光信号到达火箭前端为事件“2”，则有 S系中：事件1(x1,t1)，事件2(x2,t2)， ?x?x2?x1， ?t?t2?t1
?,t1?)，??x1??l0，??t1???x?c?l0c ?,t2?)，S?系中：事件1(x1事件2(x2 ?x??x2 ?t??t2S?系相对S系运动速率为u，由洛仑兹变换x??(x??? ct?)，t??(t??cx?)可得
?位移 ?x??(?x??? c?t?)?[l0?u(l0c)]1?(uc)2?l01?uc
1?uc?时间 ?t??(?t??c?x?)?[l0c?u(l0c2)] 速度 ???x?t?c
l01?uc 1?(uc)2?c1?uc
6-9 设火箭的静止质量为100 t，当它以第二宇宙速率 ??11.2?103m/s 飞行时，其质量增加了 0.7×10?? kg． P374 15.13 解： ???c，Ek?(m?m0)c2?m0?22，?m?(m?m0)?Ekc2?m0?2(2c2)=? 6-10 电子静止质量 m0?9.1?10?31Kg，当它具有2.6 ? 105 eV动能时，增加的质量与静止质量之比是 0.508
Ek??mc2，?原题 6-9 解：? ?m?Ek?mEk? ?，= 0.508 = 50.8%
m0m0c2c26-11 ? 粒子在加速器中被加速，当其质量为静止质量的5倍时，其动能为静止能量E?m5m0?m0? Ek??mc2，? k2?的 4 倍． (解：? = 4 )
m0cm0m0原题 6-10
6-12 设某微观粒子的总能量是它的静止能量的k倍，求其运动速度的大小．（用c表示真空中光速） 原题 6-11 Emc2m12????ck2?1, ??解： k?， ? ???c1?1k2k22E0m0cm01??c
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6-13 ⑴ 粒子以多大速度运动时，它的相对论动量是非相对论动量的两倍？ ⑵ 如果粒子的动能与它的静能相等，粒子的速率是多少？ 原题 6-12
p解：⑴ ?p???0 = 2，? ??3c= 0.866 c
21??2c21⑵ ? E k?mc2?m0c2?? m0c2?m0c2?m0c2，? ??2，? ??3c= 0.866 c
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6-14 要使电子的速率从1.2 ×108 m/s 增加到 2.4 ×108 m/s，需做多少功？P374 15.15
解：做功等于电子动能的增量
??11?? ? ?Ek?(m2?m0)c?(m1?m0)c?(m2?m1)c?m0c?1??2c21??12c2?2??2222 = ? = 4.7×10??? J = 2.94×10? eV
6-15 在氢的核聚变反应中，氢原子核聚变成质量较大的核，每用 1 g 氢约损失0.006
g 静止质量．而1 g 氢燃烧变成水释放出的能量为1.3 ×105?J．氢的核聚变反应中 释放出来的能量与同质量的氢燃烧变成水释放出的能量之比为 4.1×106 ． 解：每用1g氢释放核能 ?E1??mc2=?= 5.4×1011 J；1g氢燃释放能量?E2= 1.3×105 J
6-16 两个静止质量都是m0的小球，其中一个静止，另一个以??0.8c的速度运动，在它们作对心碰撞后粘在一起，求碰撞后合成小球的质量、速度及静止质量． ??2.31m0 6-13 (没详解) 原题 6-13 m=2.67m0，??0.5c，m0
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*6-17 ⑴ 如果要把一个粒子的动能写作 m0?22，而误差不大于1%，试问这个粒子的最大速率等于多少？
⑵ 以这个速率运动的电子动能是多少？（电子静止质量 me?9.1?10?31Kg） ⑶ 以这个速率运动的质子动能是多少？（质子静止质量 m0?1840me） P377 15.21 解： ???c，??11??2
⑴ 相对论动能 Ek?(m?m0)c2?(??1)m0c2?[ 11??2?1]m0c2 Ek?m0?22?2?1% ? 1?依题意有 ?1%
22Ek2[ 11???1]c? 1??22[ 11???1]2?0.01
∵ ??11??2， 则 ?2?1?1?2，上式可写为
111?1?21???0.01 ? 1?2(??1)?0.01 ? 1.98?2???1?0
2?2 ??1解方程 1.98?2???1?0 ? ??1?1?4?1.98
2?1.98?取正值有 ??11??2?1.0067 ? ?2?1?1?2?0.115 即 ??0.115c(= 3.45×107 m) ∴ ?max?0.115c
⑵ 以速率??0.116c时， ?= 0.115，?= 1.0067运动的电子动能 10?16 (J) = 3.43×103 eV Eke?(m?me)c2?[ 11??2?1]mec2=?= 5.49×
（电子加速电压 V ?3.5 kV 时，电子速率??=3.5×107 m时，要用相对论公式！！） ⑶∵ 质子的静止质量 mp?1840me
∴以速率??0.116c运动的质子动能 Ekp?1840Eke= 6.31×106 eV
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