第二章 量子密码学物理基础
第1节 基本概念
“量子(Quantum)”一词意为“一个量”或“一个离散的量”。更具体的说就是指光子，电子，原子等一些微观粒子，所以又有电量子，光量子一词。 量子态[5]是由某个实验测量完全正确的系统的运动状态，可以用观测量的观测值来表示。美国物理学家Dirac用右矢“ 值指明其特征。
在量子力学中确切定义一个量子态，需要一套动力学变量的“完全集”，
”表示，其中用一些字母和数
用其本征值来规定一个特定的量子态。怎样的的动力学变量集合对规定一个量子态才算是“完全的”?这问题没有先验的解答，它随着经验事实的积累和人们认识的发展而改变着。在经典物理学中物理系统的状态是用态参量或态函数的取值来描述的，态参量和态函数都是可测定物理量。
在量子力学里需要建立某种类似复振幅概念(通常用?表示)，但它的绝对值的平方等于粒子出现的概率P:
P?X???*?x???x????x? （2.1.1）
?称为概率幅，它是量子力学里最基本，最重要的概念。与光波的复振幅一样，
2量子力学里的概率幅也是复数，含模??x?和相位??x?两部
i?x分:??x????x?e??。如果令
?1?x???1?x?ei?1?x?和?2?x???2?x?ei?2?x? （2.1.2）
则P1?x???1?x?*?1?x???1?x?， P2?x???2?x?*?2?x???2?x?，概率复叠加:??x???1?x???2?x?，于是，概率为:
22P12???x???1?x???2?x?2222 ??1?x???2?x??2?1?x???2?x?cos???1?x???2?x???
?P1?x??P2?x??2P1?x?P2?x?cos???1?x???2?x???（2.1.3）
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概率幅往往是某个或某些变量的函数，亦称为波函数。概率幅是量子系统经过特定装置制备出来的量子状态的描述，它不一定具有波的形似，故称之为量子态函数，简称态函数。
量子比特[6]，经典信息论中信息的最小单位是比特(bit)，只有0或1两个取值。在量子信息论中最小单位是量子比特(qubit)。量子比特和比特的区别就是，量子比特不仅可以取0和1个值，还可以处于两者的任意叠加态上，这就是量子叠加态。该任意叠加态可以用Hilbert空间中的二维列向量?表示: ???0??1 （2.1.4） 由于叠加态存在，所以量子比特的态是不能确定的，只能以概率表示。以概率?得到0，以概率?得到1。????1，既
22221。
光的偏振现象，每一个光子都有偏振方向，分为线偏振方向和圆偏振方向，且两个方向不可同时测量，但同一偏振状态下的不同方向是可以区分的，例如线偏振状态下的水平方向和垂直方向可以区分，所以可以同时测量。
第2节 量子力学基本原理
2.1 海森伯不确定关系
以高斯型波包来讨论不确定关系，高斯型的波函数可写成
??x??Ae式中归一化因子A??a?ax22eip0x? （2.2.1）
?i?th???14，时间震荡因子e在这里无关紧要。按德布罗意
关系，故傅立叶变换也可用p来表达：
??x???C?p?e???ipx?dp 2?????p?p0?dx1?Aea?2??2其中 C?p?????x?e????ipx2a? （2.2.2）
上述式子的物理意义是：有限的波列可看作是波长为??hp，振幅为C?p?的
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一系列单色波的叠加，所以它又叫波包。计算给出x和p的方差： ?x?x2?于是我们得到
?x??p?? （2.2.4） 21 , ?p?2a?p?p0?2??a （2.2.3） 2上式成为海森伯不确定关系[7]，它在量子力学里具有普遍意义。
其实波函数??x?与C?p?描述的是同一量子态的概率幅，只不过??x?绝对值的平方给出粒子的概率按坐标x的分布，而C?p?绝对值的平方给出粒子的概率按动量p的分布，二者属于不同的表象，前者是波函数x的表象，后者是动量p的表象，在经典统计物理学中人们给出同时按x，p两者分布的函数，在量子力学中是不可能的，因为存在海森伯不确定关系，x和p不可能同时精确给出。
由此定理得知，对任何一个物理量的测量对不可避免的对另一物理量进行干扰，这就使通信双方检测到是否有窃听者。不依靠求解问题难度，量子力学提供的定理保证量子通信无条件的安全性。 2.2 量子纠缠态
量子态可以用一个波函数，或一个态矢表示。当一个量子系统有多个自由度时，其量子态通常是各自由度波函数或态矢的乘积，或者叫做直积。对于多粒子量子系统，其量子行为更复杂，会呈现出与单粒子系统不同的特性，由此区分直积态和纠缠态。
首先考察A和B组成的量子系统，它们的状态分别由Hilbert空间?a和?b的态矢量??t?A和??t?B描述，对于AB组成的量子系统由量子态为：
?AB??A??B （2.2.5）
中的态矢量：
??t?AB???t?A????t B （2.2.6）
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?，系统的哈密顿算符H?不能写来描述。从t0时刻起，AB之间有了相互作用H成：
??H??H? （2.2.7） H AB的形式，量子系统的演化算符不能写成两个子系统的演化算符的直积形式
UAB?UA?UB （2.2.8）
从而在时刻t0以后，两粒子的态矢量一般不能写成两子系统的态矢量的形式
??t?AB???t?A???t?B （2.2.9）
AB这时我们称A和B两粒子组成的系统的态??t?为纠缠态。一般情况下，如
果存在两粒子的态，使两粒子组成系统的量子态可以写成直积形式
??t?AB???t?A???t?B， （2.2.10）
称此系统的量子系统处于直积态，否则称之处于纠缠态。
量子纠缠[8]是一种量子力学现象，描述量子系统内各个子体统或各自由度之间关联的量子态，此量子态无法分解成各个成员系统各自量子态的张量积。具有量子纠缠态的成员系统们，即使相隔遥远，但仍保有特殊的关联性，当其中一个被操纵而使状态改变，另一个也会随之发生状态改变。纠缠态是多体系的量子态最普遍形式，而表示成直积形式的直积态是一种很特殊的量子态。历史上，纠缠态的概念最早出现于薛定谔猫态实验[9]中。
作为一种重要的信息资源，纠缠态被广泛应用于量子信息处理中，例如量子隐形传输，量子密钥分配，量子计算加速。 2.3 量子不可克隆定理
我们知道，单次测量是不能完全得知一个任意量子态的。在一次测量自旋量子态中，我们只会得到其本征值之一?12或?12，但不可能知道全部本征值，更不可能知道它们的概率幅a和b。但此时量子态已经坍缩了，不可能对它进行重复测量。那么能不能将这个量子态复制出大量样本呢？1982年，Wootters和Zurek提出问题:是否存在一种物理过程，实现对一个未知量子态的精确复制，使得每个复制态与初始量子态完全相同？经过证明，由于量子力学的线性特征，
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所以任意量子态是不可复制的，这便是量子态不可克隆定理[10]。量子不可克隆定理是量子力学固有特性，是量子信息科学的重要理论基础之一。量子信息传输是以量子态为信息载体进行的，量子态的不可克隆性保证了量子通信的安全性，是量子密码术成功的重要前提。 2.4 量子的不可区分性
对于非正交量子态?和?，要想获得其中的编码信息，就必须对它们进行测量区分。对于经典信息学，原则上可以区分它们的不同项，所以允许在不被发现的情况下对信息进行区分和准确的复制。但在量子力学中，非正交的两个量子态是不可区分的[11]，若对非正交的两个量子态进行测量，必然会干扰量子态，使窃听者的身份暴露。这就是非正交的量子态的不可区分性。
如果我们可以区分任何量子态，就一定要运用纠缠现象，可获得超光速通信的能力。假设发送Alice和接收者Bob共享一对纠缠处于状态?00?11?2的量子比特，如果Alice在基中测量，测后状态得到00的概率和得到11的概率都为12，所以Bob的系统状态得到0和1的概率都是12。如果Alice是在相对基?，?测量的，因为0??????2，1??????2，经过计算可以把Alice和Bob的状态重新写成??????概率12为?或者?。
?2，Bob的状态就分别以
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