关于点共线、线共点问题的多种证法
学生姓名：贾娟 指导教师：杨慧
摘要： 在初等几何中，我们常常会遇到点共线、线共点这方面的问题。而射影几何的基本不变性是点线的结合性，因此点共线、线共点问题是射影几何的主要研究对象之一。对于点共线、线共点问题的解决方法也有很多，本文则主要探讨的是利用射影几何方法与初等几何方法解决这类问题，通过比较发现具体问题用哪种方法更合适，以及解题时需要注意的问题。
关键词： 射影变换 德萨格定理 完全四点形 赛瓦定理 一维基本形的透视对应
作为师范类院校的学生，将来若想成为一名合格的中学数学教师，就必须在学习解析几何的基础上再进一步学习高等几何。而高等几何对中学数学教师几何基础的培养、解题观点的提高、思维方法的多样性等都起着重要的指导作用。对于高等几何到来说，尤其是其中的射影几何，既包含了解析几何中主要研究图形性质的内容，也融合了欧氏几何中主要研究空间几何结构的内容。因此，学习高等几何知识，不仅使我们开阔了几何学的视野，也让我们更好地理解、把握了初等几何的本质。比如初等几何中点共线、线共点的问题，在中学数学教学中既是一个重点也是一个难点。如果只是用初等几何方法去解决，有时会很复杂，相反若要用射影几何中的知识如完全四点形的调和性质、德萨格定理及其逆定理、一维基本形的透视对应性质等知识点来解决，会更简便。这样也为我们提供了多种解决初等几何问题的研究方法。用高等几何的观点指导初等几何的教学内容，进而不断地改进初等几何的教学方式，这样也有助于提高中学几何的教学质量。 1.主要定义及定理 一维基本形的透视对应：
定义1如果一个点列与一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的，则这个对应叫做
点列与线束之间的透视对应。同理，如果两个点列与同一线束成透视对应，则这两个点列叫做透视点列；如果两个线束与同一点列成透视对应，则这两个线束叫透视线束。
由此可知，两个成透视对应的点列，其对应点之连线共点。两个成透视对应的线束，其对应线之交点共线。
定理1两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底的交点自对应。 完全四点形的调和性质：
定理2设s,s′ 是完全四点形ABCD的一对对边，它
们的交点是对边点X，若X与其它两对对边
点的连线是t,t′,则有(ss,tt)?－1.
推论1在完全四点形的对边三点形的每条边上有一组
APBLZ图1Ct'YMQts'Ds 1 ??X调和共轭点，其中两个点是对边点，另两个点是这条边与通过第三个对边点的一对对边的交点，如图1中，(YZ,LM)=－1.
推论2在完全四点形的每条边上有一组调和共轭点，其中两个点是顶点，另一个点是这个边与对边
1. 三点形的边的交点，如图1中，(AB,PZ)=－定理3（德萨格定理）如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一直线上。 对偶地，如果两个三点形对应边的交点在一直线上则对应顶点的连线交于一点。 定理4（赛瓦定理）△ABC内任取一点O，直线AO,BO,CO分别交对于D,E,F,则:
BDCEAF??=1 DCEAFB对偶地，设X,Y,Z各是△ABC的三边BC,CA,AB 或其延长线的点，则AX,BY,CZ,三线共点或互相平行的充分条件是：
BXCYAZ??=1 XCYAZB2.射影几何在研究点共线、线共点方面的应用 2.1线共点
例1 证明三角形的三条中线共点。
方法一：（利用德萨格逆定理）
证明 如图2所示，设△ABC三边中点分别为，D,E,F则由三角形中位线定理可知，
EF//BC,DE//AB,DF//AC
对于△ABC和△DEF,他们的对应
边交点共无穷远直线。 A由定理3，可知其对应顶点的连线P∞AD,BE,CF共点O.
FE方法二：（利用完全四点形的调和性质） 证明 如图2所示，设△ABC中Q∞AB,AC的中点分别为F,E,连接CF CB与BE交于点O,连接AO交BC于点D，
R∞图2则只需证D为BC边的中点. 因为四边形AEOF为完全四点形，且EF//BC(三角形中位线平行于第三边)，
则设EF交BC于无穷远点Q∞，根据完全四点形的调和性质，有
D(BC,DQ∞)=－1
故有
(BCD)=－1
即
2
BDBD=－1，=1 CDDC因此点D为BC边上的中点.由此得证三角形的的三条中线AD、BE、CF共点。 方法三：（利用赛瓦定理）
证明 设△ABC中BC、AC的中点分别为D、E,且BE、AD交于点O,连接CO于AB交于点F，下面只需证明点F是AB边上的中点。 因为
BD=DC,CE=EA
所以
BDCE==1 DCEA又由定理4得
AFBDCE??=1FBDCEA
因此有
AF=1 FB即
AF=FB
故F为AB边上的中点，由此得证三角形的三条中线AD,BE,CF共点。 方法四（利用初等几何方法）
证明 如图2所示，E,F分别是AC,AB边上的中点，连接BE,CF交于点O，连接AO交BC于点D,下面只需证明点D为BC边的中点。过点B作FC的平行线且与AD的延长线交于点M，连接MC.因F为AB边的中点，且FO//BM，所以，点O为AM边上的中点。又因点E为AC边上的中点，故有
OE//MC
即
BE//MC
因此四边形BOCM为平行四边形，故点D为平行四边形BOCM的对角线BC,OM的交点
所以点D平分BC，即D为BC边的中点。 由此得证三角形的三条中线AD,BE,CF共点。
注：由例1的证明过程我们可以看出，上述证法基本上都是先设两中线交于一点，再证该交点与另一顶点的连线与对边的交点为中点。其中方法一、方法二、方法三利用的是射影几何的知识，而方法四是初等几何方法。我们可以看出，当题目较为简单时，利用初等几何方法解决问题同样很简便。但当题目较为复杂时，初等几何的方法是否适用？
3
例2 设X,Y,Z是完全四点形ABCD的对边点，XZ分别交AC,BD于L,M.证明YZ,BL,CM共点。
方法一（利用完全四点形的调和性质）
证明 如图3所示，在完全四点形ABCD中，根据定理1的推论2知，边AC上的四个点
A,C,Y,L是一组调和点，即
(AC,YL)=－1
MN交YL于C′又在完全四点形YBZL中，设LB与YZ交于N，,根据定理1的推论2知，边AL上的四点Y,L,C′,A 是一组调和点，即
A(YL,AC′)=－1
由于
BYDXM(YL,AC′)=－1
故
C(C')Z图3LC≡C′
所以YZ,BL,CM共点于N.
方法二（利用德萨格逆定理）
证明 如图3所示，对于△YLM与△ZBC来说，有YZ与ZB交于点A，YM与ZC交于点D，
LM与BC交于点X。由题意可知，点A,X,D三点共线。由定理3知，两三角形对应顶点的连线
交于一点，即YZ,BL,CM共点。
例3 如图4，直线AB与CD交于E，CA与BD交于F，EF交BC于H，BG交AC于P，PE交AH于R.试证：PH,CG,AE三直线共点。 方法一（利用透视对应的性质）
证明 设CG与AE交于点O，CG与BD交于点Q 因为
O(O')AD(E,H,F,G)=(D,B,F,G)=(C,O,G,Q)=(E,O,A,B)
∧∧∧CEBRHFQCG所以
(E,H,F,G)－(E,O,A,B)
∧D而E自对应，故有
图4(E,H,F,G)=(E,O,A,B)
∧所以，HO，FG，GB三直过点P，即PH过点O.因此，PH、CG、AE三直线共点。
4
方法二（利用德萨格逆定理）
证明 如图4， 在△EHC与△APG中，三对对应边的交点，即EH与AP的交点F,EC与
AG的交点D, HC与PG的交点B，其三点共线。
由定理3知,三对对应顶点的连线PH,CG,AE共点O. 方法三（利用完全四点形的调和性质）
证明 设PH与CG交于点O′,则在完全四线形BHFP中， 有 (CG,OO′)=－1 在完全四线形CDGF中，因
(C,G,Q,O)=(E,A,B,O)
∧D且
(EA,BO)=－1
所以
(CG,QO′)=(EA,BO)=－1 (CG,QO)=(CG,QO′)=－1
O′而C,G,Q三点固定，故O≡.因此，PH,CG,AE三直线共点O.
注：由例2、例3可以看出，当题目较为复杂时，我们一般很难用初等几何方法解决这类问题，若很容易找到两个透视对应的点列，则我们可以用透视对应的性质，如例3，从而证明线共点。
由上述3个例题，我们可知对于证明线共点问题时，我们一般都是把四边形视为四点形或四线形，利用完全四点（线）形的调和性质从而利用点重合证明，或是找到两个透视对应的点列，利用透视对应的性质证明，也可以找到两个三点形利用德萨格逆定理证明，或是赛瓦定理的逆定理等等都可以用来证明一些复杂的线共点问题。 2.2点共线
用初等几何方法证明一些点共线问题不算太容易，如四点共线或是题目较为复杂的，而用射影几何的理论作指导来证明就很简单。
例4 求证△ABC的外心O,垂心E,重心D三点共线。 方法一（利用德萨格定理）
证明 如图5所示，设F,G分别为BC，CA边上的中点，连结OF，FG，FO，AE，EB。
在△ABE与△FGO，三对对应边，即
AEOB图5FGDC 5