四、计算题
? 1、假定X和Y两种商品有线性无差异曲线，其斜率处处是1/2，即MRSXY
＝1/2。（1）当PX＝PY＝1，且货币收入M＝1000时，消费者均衡是什么？（2）当PX＝1，PY＝2时，消费者均衡是什么？
解：（1）由于MRSXY＝1/2,而
PXP?1，所以，MRSXY?X。消费者均PYPY衡时最优商品组合为X＝0，Y＝1000； （2）由于
PPX1?，所以，MRSXY?X，故预算线上各点均是均衡点。
PYPY2? 2、若甲的效用函数为U＝XY，试问（1）X＝40，Y＝5时，他得到的效
用是多少？过（40，5）的无差异曲线是什么？（2）若甲给乙25单位X的话，乙愿意给甲15单位Y，进行这个交换后，甲得到的效用会比（40，5）的组合更高吗？（3）乙用15单位Y同甲换取X，为使甲的满足与（40，5）的组合相同，他最多能够得到多少单位的X？
解：（1）U＝XY＝40×5＝200，过（40，5）的无差异曲线是XY＝200。 （2）交换后，甲的商品组合为（15，20），其效用为U＝XY＝15*20＝300，可见交换后的效用高于原有效用。
（3）由于XY＝X*（5＋15）＝200，所以，X＝10。因此，甲必须放弃40－10＝30个单位的X。也就是说，乙最多只能得到30个单位X。
? 3、甲的效用函数为U＝（x＋2）（y＋6），X、Y分别代表蛋糕的块数
和牛奶的杯数。问（1）甲原有4块蛋糕、6杯牛奶。现甲给乙3块蛋糕，乙将给甲9杯牛奶，进行这项交易，甲的商品组合是什么？若甲拒绝交易，这一决策明智吗？（2）若MRSxy＝－2，甲愿意为3杯牛奶放弃1块蛋糕吗？愿意为6杯牛奶而放弃2块蛋糕吗？ 解：（1）交换前甲的商品组合为（4，6），总效用为U＝（4＋2）（6+6）＝72，而交换后的商品组合为（1，15），总效用为U＝3×21＝63，显然，拒绝交换是明智的。
（2）MRSxy＝－2，意味着得到2杯牛奶，放弃1块蛋糕。现在只要放弃1块蛋糕就可以得到3杯牛奶，他当然愿意。（3）愿意。与（2）同理。 ? 4、假定效用函数为U＝q0.5＋2M，其q为消费的商品量，M为收入。求
（1）需求曲线；（2）反需求曲线；（3）p＝0.05，q＝25时的消费者剩余。 解：（1）商品的边际效用为MU??U?0.5q?0.5，货币的边际效用为?q 6
MU0.5q?0.5?U1???2，??2，根据货币边际效用不变时，??则q??MPP16p2即为需求曲线。 （2）由q?11得到，这就是反需求曲线。 P?216p4qq（3）当p＝0.05，q＝25时， 消费者剩余＝?01dq?pq?q224q1311q01?pq??252－0.05?25＝1.25
21? 5、已知某人的效用函数为U?XY，商品价格分别为PX和PY，收入为
M，请推导出他对X、Y的需求函数。
解：根据题意，预算方程为PX?X?PY?Y?M，构建拉各朗日函数
11L?X3Y3??(M?PX?X?PY?Y)
效用函数有极大值的必要条件是所有一阶偏导数为零，即
1?1?2?X3Y3??PX?0M??3X?21??2PX?1?33?解之可得?即为X和Y的需求函数 ?YX??PY?03M??Y??M?PX?X?PY?Y?0?2PY????13? 6、小张每年为购买第一件装饰品愿付10元，第二件愿付9元，……，
直到第10件1元，第11件就不愿付钱。问：（1）假如每件装饰品需付3元，她将买多少件装饰品？她的消费者剩余是多少？（2）装饰品的价格上涨到每件5元，情况又怎样？（3）消费者剩余与商品价格之间的关系是什么？
解：（1）因为小张对第8件装饰品愿意支付3元，即她认为第8件装饰品的边际效用等于3元货币的边际效用。所以，她将购买8件装饰品，她的消费者剩余＝7＋6+5+4+3＋2＋1＋0＝28元。
（2）因为小张对第6件装饰品愿意支付5元，所以当价格上涨到5元时，她将购买6件装饰品。这时，她花的最后一块钱所得的边际效用
恰好等于货币的边际效用，即
MU??。此时她的消费者剩余＝P（5+4+3+2+1+0）＝15
（3）由前面消费者剩余的计算可知：消费者剩余＝愿意支付的价格总额－实际支付的价格总额。
7
? 7、已知某人每月收入120美元，全部用于X、Y的消费，其效用函数为U
＝XY，X的价格是2美元，Y的价格是3美元。求：（1）为使获得的效用最大，他购买商品组合是什么？（2）货币的边际效用和他获得总效用各为多少？（3）假如X的价格提高44%，Y的价格不变，为使他的效用水平不变，收入必须增加多少？（4）假如他愿意的消费品组合恰好代表全社会的平均数，因而他原有的购买量可作为消费品价格指数的加权数，当X价格提高44％时，消费品价格指数提高多少？（5）为使他保持原有效用水平，他的收入必须提高多少百分率？（6）你关于（4）和（5）的答案相同吗？若不相同，请解释为什么他的效用水平能够保持不变。
?(XY)?(XY)?Y，MUY??X，该消?X?YMUY?MUX??PY费者要得到最大效用，必须满足?PX，将各数值代入有
?PX?PY?MY?X?YX??，解这个方程组得到X＝30，Y＝20。即为了使效用最大，3?2??2X?3Y?120解：（1）由U＝XY得：MUX?他应该购买30单位X商品，20单位Y商品。 （2）货币的边际效用??MUXMUY3020????10 PXPY32总效用TU＝XY＝30*20＝600
X?Y??（3）PX提高之后为PX=2(1+44%)=2.88,据题意有?2.883，解之得
??XY?600?X?25到?，将它代入预算方程可得：?Y?24M?PXX?PYY?2.88*25?3*24?144，由此可知?M?144?120?24。因
此为保持原有效用水平，收入必须增加24美元。 （4）
价格指数增加额消费品价格指数提高百的分率＝原有价格指数（30*2.88?20*3）－（30*2?20*3）26.4＝＝＝22％30*2?20*3120
（5）收入提高的百分率为24/120＝20％。
（6）消费品价格指数提高22%，而收入提高20%，二者显然不同。因为X的价格提高44％，在Y价格不变的情况下，为取得同样效用，均衡购买量发生了变化。一方面，X的购买量从30下降到25，减少支出2.88×
8
（30-25）＝14.4；另一方面，Y的购买量从20增加到24，增加了3×（24-20）＝12元的支出，二者相抵，净节省2.4元，占原收入120美元的2.4/120＝2％。因此，当价格指数提高22％时，收入只需要提高20％。 3U?X2Y和3X＋4Y＝100，消费?8、消费者甲的效用函数和预算约束分别为 U?X6Y4?1.5lnX?lnY，者乙的效用函数为 预算约束与甲相同。求：（1）
他们各自的最优商品购买量；（2）最优商品购买量是否相同？这与两条无差异曲线不能相交矛盾吗？
?U32?U解：（1）对于U?XY有：MUX??XY,MUY??X2。由预算
?X2?YP3约束方程的斜率可知X?，第一个消费者最大化效用实现的条件为：
PY4?31?X2Y3?X?20?2?3 ?，解之得第一个消费者的最优商品购买为 ?4Y?10??X2?3X?4Y?100?1.51U?X6Y4?1.5lnX?lnY有：MUX?6X5Y4?,MUY?4X6Y3?，对于
XY3213据题意，第二个消费者最大化效用的实现条件为：
1.5?546XY??X?3?X?20?14，解之得第二个消费者的最优商品购买为。 63?4XY???Y?10?Y??3X?4Y?100 （2）两人的最优购买相同，这样两条无差异曲线就经过同一点，似乎这与两条无差异曲线不能相交矛盾。其实，这是不矛盾的。因为两个消费者都有自己的无差异曲线图，在各自的无差异曲线图中，两条无差异曲线是不相交的。它们分别与同样的预算线相切，购买量相同。但是，这两个购买量所代表的效用是不一样的。
?9、某君爱好是红葡萄酒，当其他商品价格固定不变时，他对高质量的红葡萄酒的需求函数为q=0.02M-2P。收入M＝7500元，价格P＝30元。现在价格上升到40元，问价格上升的价格效应是多少瓶酒？其中替代效应、收入效应各是多少瓶？
解：当M＝7500，P＝30时，他购买红葡萄酒数量为：
q＝0.02×7500-2×30＝90瓶
当P＝40时，为保持效用不变，购买90瓶红葡萄酒和其他商品所需的收入为：M＝7500＋（40-30）×90＝8400元。
9
当他面对M＝8400元，P＝40元时，该消费者会以其他酒来代替红葡萄酒，即他会减少红葡萄酒的购买量。此时，他的购买量为：q=0.02×8400－2×40＝88瓶。
由于他的收入维持在M＝7500，而酒的价格上涨为40元，等于他的实际收入下降。因此，不仅替代效应使他减少红葡萄酒的购买，收入效应也会是他减少红葡萄酒的购买。因此，他实际上对红葡萄酒的购买量为：q＝0.02×7500－2×40＝70瓶。
可见，价格效应使他对红葡萄酒的需要减少90－70＝20瓶，其中替代效应减少90-88＝2瓶，收入效应减少88-70＝18瓶。 在图3-11中，AB是M＝
7500，P＝30时的预算线，它Y 与无差异曲线U1相切，决定酒M 的购买量为90，MN是价格上升到40时，为使他买到90瓶酒和U1 A 其他商品，需要提高收入的预U2 算线（补偿预算线），它与U1相切决定了由于替代效应而使他只会购买88瓶。AC表示了它M＝7500，P＝40时的预算线，它与无差异曲线U2相切决
C X OB N 定了购买量为70瓶酒。于是价70 88 90 格效应（20）为替代效应（2）
图3-11 与收入效应（18）之和。 10