Lebesgue积分与Riemann积分的比较
在有界可测集E上勒贝格可积的充要条件是
f?x?在E上可积
注释：事实上，E可以是无界的，并且我们还有以下性质
注释：该定理中E可以为无限，该定理有下列推论
推论2 若f?x??0，?f?x?dm?0,则
Ef?x??0，a.e于E.
定理12（有限可加性）设f?x?是有界可测集E上的勒贝格可积函数，E??Ek,Ekk?1n?f?x?dm??f?x?dm
EE对比黎曼积分，此性质是不成立的.我们可以说，f黎曼可积则f黎曼可积，但是f黎曼可积推不出f黎曼可积.如
等均可测且两两互不相交，则有
?1x?Q??0,1?f?x???c
???1x?Q?0,1?此函数显然黎曼不可积，而f?x??1 ，
?f?x?dm??f?x?dm??f?x?dm????f?x?dmEE1E2En
注释：此定理可以中E可以为无限.此性
质可以对比黎曼积分的如下性质，即“在区
间?a,b?上黎曼可积的函数f?x?，有
x??0,1?显然是黎曼可积的.
b定理10 f?x?为E上的勒贝格可积函数，则f2?x?在E上不一定L可积分.
注释：对比黎曼积分，f?x?黎曼可积，则可推出f2?x?是黎曼可积的. 我们构造下列函数
?f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx???f?x?dxaacncdb
其中任意c,d,...n属于?a,b?.事实上对于一维无界区间而言黎曼积分的该性质亦是成立的.
定理13，（?/完全可加性）设f?x?是有界可测集E上的勒贝格可积函数，则E??Ek,Ei,Ej等均可测且两两互不相交，
k?1??1x??0,1??f?x???2 x?0??0该函数是L可积的，然而f2?x?L不可积. 4 勒贝格积分的其他性质
定理11（唯一性定理）设f在有限可测集E上勒贝格可积，则?fdm?0的充要条件
E有
?f?x?dm??f?x?dm??f?x?dm???f?xEE1E2En
注释：该定理中E可为无界可测集， 定理14（绝对连续性）设f?x?在有界可测集E上L可积，则对任意?，有??0，
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是f在E上几乎处处为零.
Lebesgue积分与Riemann积分的比较
使当me??(e?E)时就有
对比黎曼积分的性质，函数项级数一致收敛，则部分和函数的极限号与积分号方可交换，可见，勒贝格积分要方便很多.
定理 16 （勒维定理）设可测集E上可测函
数列?fn?x??满足下面条件：
?f?x?dm??e注释：此定理中E可以是无界.此定理若将积分看成更高阶维空间的测度，则即n维空间任意小的空间都对应与n+1维任意小的空间.若将积分看成原函数，则原函数是绝对连续的，对应黎曼积分有性质“设f?x?在
0?f1?x??f2?x???；limfn?x??f?x??x?E?
n?? 则fn?x?的积分序列收敛于f?x?的积分：
?a,b?上黎曼可积，则对任意x??a,b?，
F?x???f?x?dx是x的连续函数”.
ax?limf?x?dm?lim?f?x?dm
En??nn??nE? about function column
定理 15 设f?x?是有界可测集E上的非负的勒贝格可积函数，?fn?x??n?N是满足条件
注释：显然该定理更具朴实意义，即收敛的可测函数列的积分符与极限符号可交换.该定理是勒贝格积分的重要极限定理之一，也是勒贝格积分论的核心定理之一，其应用非常广泛.与函数项级数的相关定理对比，可看出勒贝格积分在对收敛的要求上明显宽松很多，这也便是勒贝格积分教黎曼积分更加优越的原因之一了.
定理（法杜定理）设fn?x?是可测集E上的非
负可测函数列，则
0?f1?x??f2?x???；limfn?x??f?x??x?E?
n??的简单函数列，则
?f?x?dm?lim?f?x?dm
En??nE?limf?x?dm?lim?f?x?dm
En??nn??nE注释：此定理中E可以是无界，且若f?x?勒贝格积分存在，此定理也是成立的，收敛与L可积函数的简单渐升函数列积分符与极限符号是可交换的.即
注释：该定理便是勒贝格积分的又一重要极限定理，也称法图定理，较勒维定理，该定理有明显放松了，即不要求函数列收敛，只要求其可测.
?limf?x?dm?lim?f?x?dm
En??nn??nE
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Lebesgue积分与Riemann积分的比较
参考文献：《实变函数与泛函分析概要》第四版 郑维行 王声望 高等教育出版社
《实变函数论》第二版 周民强 北京大学出版社
《实变函数论的典型问题与方法》 张喜堂 华中师范大学出版社
《数学分析》 北大数学系编 高等教育出版社 《数学分析》 复旦数学系 编 高等教育出版社
《中华百科全书，数学》
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