（3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形．分两种情况讨论，要点是求出点E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数． 解答： 解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣4， ∴A（﹣4，0），B（0，4）． 2∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y=﹣x+bx+c上， ∴， 解得：b=﹣3，c=4， 2∴抛物线的解析式为：y=﹣x﹣3x+4． （2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，AC=4+m． ∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°， ∴△ACD为等腰直角三角形，∴CD=AC=4+m， ∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m， ∴点E坐标为（m，8+m）． 2∵点E在抛物线y=﹣x﹣3x+4上， 2∴8+m=﹣m﹣3m+4，解得m=﹣2． ∴C（﹣2，0），AC=OC=2，CE=6， S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO=×2×6+（6+4）×2﹣×2×4=12． （3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，CD=AC=4+m，BD=OC=﹣m，则D（m，4+m）． ∵△ACD为等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似 ∴△DBE必为等腰直角三角形． i）若∠BED=90°，则BE=DE， ∵BE=OC=﹣m， ∴DE=BE=﹣m， ∴CE=4+m﹣m=4， ∴E（m，4）． 2∵点E在抛物线y=﹣x﹣3x+4上， 2∴4=﹣m﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣3， ∴D（﹣3，1）； ii）若∠EBD=90°，则BE=BD=﹣m， 在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=﹣2m， ∴CE=4+m﹣2m=4﹣m， ∴E（m，4﹣m）． 2∵点E在抛物线y=﹣x﹣3x+4上， 2∴4﹣m=﹣m﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣2， ∴D（﹣2，2）． 综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，2）． 点评： 本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、图象面积计算等重要知识点．第（3）问需要分类讨论，这是本题的难点．
5.（2013?绍兴压轴题）抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点．
（1）求点B及点D的坐标．
（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E． ①若线段BD上一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P的坐标．
②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标． 考点： 二次函数综合题．3718684 分析： （1）解方程（x﹣3）（x+1）=0，求出x=3或﹣1，根据抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），确定点B的坐标为（3，0）；将y=（x﹣3）（x+1）22配方，写成顶点式为y=x﹣2x﹣3=（x﹣1）﹣4，即可确定顶点D的坐标； （2）①根据抛物线y=（x﹣3）（x+1），得到点C、点E的坐标．连接BC，过点C作CH⊥DE于H，由勾股定理得出CD=，CB=3，证明△BCD为直角三角形．分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．根据两角对应相等的两三角形相似证明△BCD∽△QOC，则==，得出Q的坐标（﹣9，0），运用待定系数法求出直线CQ的解析式为y=﹣x﹣3，直线BD的解析式为y=2x﹣6，解方程组，即可求出点P的坐标； ②分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G，先证明△MCN∽△DBE，由相似三角形对应边成比例得出MN=2CN．设CN=a，再证明△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，然后用含a的代数式表示点M的坐标，将其代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），求出a的值，得到点M的坐标；若点N在射线DC上，同理可求出点M的坐标；（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时．由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根据直角三角形两锐角互余得出∠MCN＞45°，而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，所以点M不存在． 解答： 解：（1）∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）， ∴当y=0时，（x﹣3）（x+1）=0， 解得x=3或﹣1， ∴点B的坐标为（3，0）． 22∵y=（x﹣3）（x+1）=x﹣2x﹣3=（x﹣1）﹣4， ∴顶点D的坐标为（1，﹣4）； （2）①如右图． 2∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）=x﹣2x﹣3与与y轴交于点C， ∴C点坐标为（0，﹣3）． ∵对称轴为直线x=1， ∴点E的坐标为（1，0）． 连接BC，过点C作CH⊥DE于H，则H点坐标为（1，﹣3）， ∴CH=DH=1， ∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°， ∴CD=，CB=3，△BCD为直角三角形． 分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R． ∵∠BDE=∠DCP=∠QCR， ∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP， ∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP， ∴∠CDB=∠QCO， ∴△BCD∽△QOC， ∴==， ∴OQ=3OC=9，即Q（﹣9，0）． ∴直线CQ的解析式为y=﹣x﹣3， 直线BD的解析式为y=2x﹣6． 由方程组，解得． ∴点P的坐标为（，﹣）； ②（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时． 若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G． ∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°， ∴△MCN∽△DBE， ∴==， ∴MN=2CN． 设CN=a，则MN=2a． ∵∠CDE=∠DCF=45°， ∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形， ∴NF=CN=a，CF=a， ∴MF=MN+NF=3a， ∴MG=FG=∴CG=FG﹣FC=∴M（a， a， a）． ， a，﹣3+代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），解得a=∴M（，﹣）； 若点N在射线DC上，如备用图2，MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G． ∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°， ∴△MCN∽△DBE， ∴==， ∴MN=2CN． 设CN=a，则MN=2a． ∵∠CDE=45°， ∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形， ∴NF=CN=a，CF=a， ∴MF=MN﹣NF=a， ∴MG=FG=a， 点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．（2）中第②问进行分类讨论及运用数形结合的思想是解题的关键．
6.（2013?恩施州压轴题）如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把
2
△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线y=x﹣4x+3过点B、C和D（3，0）．
（1）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．
（2）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
考点： 二次函数综合题． 分析： （1）由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式； （2）首先确定△MCD为等腰直角三角形，因为△BND与△MCD相似，所以△BND也是等腰直角三角形．如答图1所示，符合条件的点N有3个； （3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出△PBD面积的表达式，然后根据S△PBD=6的已知条件，列出一元二次方程求解． 22解答： （1）抛物线的解析式为：y=x﹣4x+3=（x﹣2）﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）． 直线BD：y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M，令x=2，得y=1， ∴M（2，1）． 设对称轴与x轴交点为点F，则CF=FD=MN=1， ∴△MCD为等腰直角三角形． ∵以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似， ∴△BND为等腰直角三角形． 如答图1所示： （I）若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O， ∴N1（0，0）； （II）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上， ∵OB=OD=ON2=3， ∴N2（﹣3，0）；