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2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）
理科数学试题(必修+选修Ⅱ)参考答案
一、选择题
1. A 2. B 3. B 4. A 5. C 6. A 7. D 8. C 9. B 10. C 11. D 12. B 二、填空题
13. {x|0?x?2} 14. ?三、解答题 17. 解：
由a?b?acotA?bcotB及正弦定理得
153 15. (1,) 16. 743sinA?sinB?cosA?cosBsinA?cosA?cosB?sinB从而sinAcos
?4?cosAsin?4?cosBsin?4?sinBcos?4
sin(A?)?sin(?B)
44又0?A?B?? 故A????4??4
?B
A?B?所以C? 18. 解：
?2?2 (Ⅰ)记 A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审； B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D表示事件：稿件被录用.
则 D=A+B·C,
P(A)?0.5?0.5?0.25,P(B)?2?0.5?0.5?0.5,P(C)?0.3,
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P(D)?P(A?B?C) =P(A)?P(B?C) =P(A)?P(B)P(C) =0.25+0.5×0.3 =0.40.
(Ⅱ)X~B(4,0.4)，其分布列为： P(X?0)?(1?0.4)4?0.1296,
1 P(X?1)?C4?0.4?(1?0.4)3?0.3456, 2 P(X?2)?C4?0.42?(1?0.4)2?0.3456, 3 P(X?3)?C4?0.43?(1?0.4)?0.1536,
P(X?4)?0.44?0.0256. 期望EX?4?0.4?1.6. 19. 解法一：
(Ⅰ)连接BD,取DC的中点G，连接BG,
由此知 DG?GC?BG?1,即?ABC为直角三角形，故
BC?BD.
又SD?平面ABCD,故BC?SD,
所以，BC?平面BDS,BC?DE.
作BK?EC,K为垂足，因平面EDC?平面SBC，
故BK?平面EDC，BK?DE,DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直 DE⊥平面SBC，DE⊥EC,DE⊥SB
SB?SD2?DB2?6 DE?SD?DB2? SB3 第 7 页 版权所有@中国高考志愿填报门户
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EB?DB2-DE2?所以，SE=2EB (Ⅱ) 由SA?626 ,SE?SB-EB?33SD2?AD2?5,AB?1,SE?2EB,AB?SA,知
22?1??2?AE??SA???AB??1,又AD=1.
?3??3?故?ADE为等腰三角形.
取ED中点F,连接AF,则AF?DE,AF?连接FG，则FG//EC,FG?DE.
所以，?AFG是二面角A?DE?C的平面角. 连接AG,AG=2,FG?AD2?DF2?6. 3DG2?DF2?6, 3AF2?FG2?AG21cos?AFG???,
2?AF?FG2所以，二面角A?DE?C的大小为120°. 解法二：
以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D?xyz，
设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)
????????（Ⅰ）SC?(0,2,-2),BC?(-1,1,0)
设平面SBC的法向量为n=(a,b,c)
????????????????由n?SC,n?BC，得n?SC?0,n?BC?0
故2b-2c=0,-a+b=0
令a=1，则b=c,c=1,n=(1,1,1)
???????又设SE??EB (??0)，则
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??2E(,,) 1??1??1????????2????DE?(,,),DC?(0,2,0)
1??1??1??设平面CDE的法向量m=(x,y,z) 由m?DE,m?DC,得
m?DE?0，m?DC?0 故
?x?y2z???0,2y?0. 1??1??1??令x?2，则m?(2,0,??).
n?0,2???0,??2 由平面DEC⊥平面SBC得m⊥n,m?故SE=2EB
?211222111???（Ⅱ）由（Ⅰ）知E(,,)，取DE的中点F，则F(,,),FA?(,?,?)，
333333333????????故FA?DE?0，由此得FA?DE
????????????242又EC?(?,,?)，故EC?DE?0，由此得EC?DE，
333????????向量FA与EC的夹角等于二面角A?DE?C的平面角
????????????????FA?EC1??????? 于是 cos(FA,EC)????2|FA||EC|所以，二面角A?DE?C的大小为120 20.解： （Ⅰ）f?(x)??x?11?lnx?1?lnx?， x?xf?(x)?xlnx?1,
题设xf?(x)?x?ax?1等价于lnx?x?a. 令g(x)?lnx?x，则g?(x)?'21?1 x'1，g(x)＞0；当x≥1时，g(x)≤0，x?1是g(x)的最大值点， 当0＜x＜ g(x)≤g(1)??1
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综上，a的取值范围是??1,???.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，g(x)≤g(1)??1即lnx?x?1≤0.
1时，f(x)?(x?1)lnx?x?1?xlnx?(lnx?x?1)≤0； 当0＜x＜当x≥1时，
f(x)?lnx?(xlnx?x?1)
1?1) x11 ?lnx?x(ln??1)
xx ?lnx?x(lnx? ≥0 所以(x?1)f(x)≥0 21. 解：
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x1,?y1)，l的方程为x?my?1(m?0). （Ⅰ）将x?my?1代入y2?4x并整理得
y2?4my?4?0 从而y1?y2?4m,y1y2?4 直线BD的方程为
y?y2?y2?y1(x?x2)
x2?x1y224即y?y2?(x?)
y2?y14令y?0，得x?y1y2?1 4所以点F(1,0)在直线BD上 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，
x1?x2?(my1?1)?(my2?1)?4m?2
2x1x2?(my1?1)(my2?1)?1.
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