(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).
(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理2可知这些点在交线上，因此共线. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法
(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线. (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面. 3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解. 失误与防范
1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”. 2.不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件. 3.两条异面直线所成角的范围是(0°，90°].
A组 专项基础训练 (时间：40分钟)
一、填空题
1.下列命题正确的是________.(填序号)
①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面； ③两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. 答案 ②③
解析 经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确； 两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确； 命题④中没有说清三个点是否共线，∴④不正确.
2.平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定______个平面. 答案 1或4
解析 若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面.
3.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是________.
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答案 (0，2) 解析 此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a的棱长一定大于0且小于2.
4.四棱锥P－ABCD的所有侧棱长都为5，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为________. 答案
5 5
解析 因为四边形ABCD为正方形，故CD∥AB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角，即为∠PAB.
PA2＋AB2－PB2
在△PAB内，PB＝PA＝5，AB＝2，利用余弦定理可知cos∠PAB＝＝
2×PA×AB5＋4－55
＝. 2×5×25
5.设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________.(填序号)
①P∈a，P∈α?a?α；②a∩b＝P，b?β?a?β；③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α； ④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b. 答案 ③④
解析 当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a?α，∴①错；a∩β＝P时，②错； 如图，∵a∥b，P∈b，∴P?a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，
又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b?α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确.
6.如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是________.(填序号)
答案 ④
7.a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
③若a?平面α，b?平面β，则a，b一定是异面直线；④若a，b与c成等角，则a∥b. 上述命题中正确的命题是________(只填序号). 答案 ①
解析 由公理4知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；a?α，b?β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故③不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故④不正确. 8.若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连结正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对.
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答案 24
解析 正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线为面对 角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A′B， BC′，A′D，C′D，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异 12×4面直线对共有＝24(对).
2二、解答题
9.如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足 AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD 于点H. (1)求AH∶HD；
(2)求证：EH、FG、BD三线共点.
AECF
(1)解 ∵＝＝2，∴EF∥AC，∴EF∥平面ACD，而EF?平面EFGH，
EBFB平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH，∴AC∥GH.∴
AHCG
＝＝3.∴AH∶HD＝3∶1. HDGD
EF1GH1
(2)证明 ∵EF∥GH，且＝，＝，∴EF≠GH，∴EFGH为梯形.
AC3AC4令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH?平面ABD，又P∈FG，FG?平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点. 10.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥ 底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点. (1)求四棱锥O－ABCD的体积；
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小. 解 (1)由已知可求得，正方形ABCD的面积S＝4， 18所以，四棱锥O－ABCD的体积V＝×4×2＝.
33(2)连结AC，设线段AC的中点为E，连结ME，DE， 则∠EMD为异面直线OC与MD所成的角(或其补角)，
由已知，可得DE＝2，EM＝3，MD＝5，∵(2)2＋(3)2＝(5)2， DE26
∴△DEM为直角三角形，∴tan∠EMD＝＝＝. EM33
B组 专项能力提升 (时间：35分钟)
1.l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是________.(填序号) ①l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3；②l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3；③l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面；
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④l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面. 答案 ②
解析 当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面，故①不正确；l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3，故②正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故③不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故④不正确. 2.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N 分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中， ①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线； ③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直. 以上四个命题中，正确命题的序号是________. 答案 ②③④
解析 还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.
3.(2012·四川)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、 CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________. 答案 90°
解析 如图，取CN的中点K，连结MK，则MK为△CDN的中位线，
所以MK∥DN. 所以∠A1MK为异面直线A1M与DN所成的角. 连结A1C1，AM.设正方体棱长为4，则A1K＝?42?2＋32＝41，
11
MK＝DN＝42＋22＝5，A1M＝42＋42＋22＝6，∴A1M2＋MK2＝A1K2，∴∠A1MK＝90°.
224.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个 结论：
①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线. 其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上). 答案 ③④
5.已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的投影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.则在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号).
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答案 ①②④
6.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H 为直线B1D与平面ACD1的交点.求证：D1、H、O三点共线. 证明 连结BD，B1D1， 则BD∩AC＝O，
∵BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D， B1D?平面BB1D1D， 则H∈平面BB1D1D，
∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1. 即D1、H、O三点共线.
7.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝
90°，BC綊12AD，BE綊1
2FA，G，H分别为FA，FD的中点.
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ (1)证明 由题设知，FG＝GA， FH＝HD，所以GH綊1
2AD.
又BC綊1
2AD，故GH綊BC，
所以四边形BCHG是平行四边形. (2)解 C，D，F，E四点共面.理由如下： 由BE綊1
2AF，G是FA的中点知，BE綊GF，
所以四边形EFGB是平行四边形，所以EF∥BG. 由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH， 故EC，FH共面.
又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面.
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