从日常经验可知，以自行车为例，如果前轮有一定转角，在维持转角不变状态和无
轴向移动前提下自行车走过的路径将会以某个圆点为中心旋转，同样的状态也会出现在汽车上。其走过路径如下图。
根据阿曼克数学模型，从几何关系及运动学公式可知，在如上图后轮轴心的运动轨
迹可以描述为以半径R?Lcot?的圆周运动。两个后轮的轨迹分别为Lcot??Lcot??W的圆,?为该车前轮转角，推导详见参考文献[5]。 2W和2 在问题一中，首先明确问题，题目要求寻找汽车能够安全入库的起始点位置的区域
范围；然后，我们结合题目信息以及实际生活中的倒车过程，分析了制约汽车安全入库的影响因素，主要是受到车库周围事物的影响；我们将汽车倒车入库的过程分为三段，前两段轨迹为圆弧，其中第一段圆弧与第二段圆弧相切，第三段轨迹为直线运动；最后根据车库周围障碍物的制约构建不等式，并采用数形结合的方法得到区域范围，求出区域边界方程，最后得出满足汽车安全入库的起始点位置的区域。
在问题二中，题目要求根据前轮转角和后轮行驶距离设计出从任意入库起始点开始的最佳泊车策略，即在问题一汽车安全入库的基础上寻求倒车优化方案，从而建立优化模型。为了使得汽车出库和入库时行驶方便，参考上图中车位旁边的两辆汽车的停放位
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置，要使停车位置最佳，则需要在满足问题一中约束条件的的前提下增加对停车位置的约束，并构建有关汽车行驶距离和两段泊车转角的多目标函数非线性规划，将任意点看做取多个具体点，最后运用Matlab软件进行求解，得到每个具体起始点的最优泊车策略。
五、模型的建立与求解
5.1 问题一模型建立与求解 5.1.1 问题一的分析
问题一中，我们参考了生活中倒车实际情况的同时，结合题目信息，将倒车的过程分为三段。如图所示，从汽车位于与车位垂直的任意位置时起，至汽车按照题目已知的转向角36度前进到某一合适的地点止，为第一段，第一段路程的轨迹是一段半径为汽车从第一段行程的终点按照相同的转向角36度后退R1?Lcot36?圆心角为?的圆弧；
到车身与车位在同一条直线上止为第二段，由如图1几何关系知第二段路程的轨迹是一段半径为R2?Lcot36?圆心角为
?2??的圆弧；最后汽车沿直线行驶距离d后直接后退
到车位的合适位置停车，为第三段。那么，为保证汽车能够安全倒车入库，影响其倒车起始点位置s0所在区域范围的约束条件有四个：第一，汽车位于第一段路程的起始点与车位垂直时，车身不能越过l2和l1；第二，汽车在第一段路程的终点处不能越过上边界线l1；第三，汽车在倒车的第二段过程中，车身（轮廓线在地面的投影）不能越过D点；第四，汽车在倒车的第三段过程终点停车时，车身左侧不能越过FG，右侧不能越过DE。
5.1.2 问题一模型的建立
通过对原问题的分析，我们以汽车两后轮连线中心点的轨迹代替汽车的运行轨迹，可以建立如下的数学模型. 首先明确变量：如图，以车位的左下角顶点F为坐标原点，设汽车位于初始点位置时，两后轮连线中心点坐标为S0(x0,y0),汽车位于第一段路程的 终点处时，两后轮连线中心点坐标为S1(x1,y1)，汽车位于第二段路程的终点处时，两后
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轮连线中心点坐标为B(xB,yB)，汽车在第三段路程的终点处停车时，两后轮中心点坐标为S3(x3,y3)，汽车在第一段和第二段过程中两后轮连线中心点轨迹为圆弧，设第一段轨迹圆心为O1，半径为R1,第二段轨迹圆心为O2，半径为R2，?S0O1S1??。
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图1
Step1：
取F点坐标为（0,0）
用不等式表示出约束条件1，即汽车位于第一段路程的起始点与车位垂直时，车身不能越过l2。
n?WW?y0?n?b? （1-1）
22式中：n表示车位的长度 b表示l1l2之间的距离 W表示汽车的宽度
Step2:用不等式表示出约束条件2，即汽车在第一段路程的终点处不能越过上边界线l1。
汽车从S0(x0,y0)运动到S1(x1,y1)过程中，轨迹为以O1为圆心，R1?Lcot?1为半径的圆弧，?1为汽车沿圆弧前进时的前轮转角，则S1(x1,y1)的坐标用x0,y0表示为
x1?x0?R1sin? ， y1?y0?R1(1?cos?)，由勾股定理得 AS1?(A点的纵坐标为yA?y1?AS1sin(???)，由图像易得tan??S?L2W2)?() ，则22W由此可得 S?Ly0?R1(1?cos?)?(S?L2W2?)?()sin(???)?n?b,??(0,) （1-2） 222式中：W表示汽车的宽度 S表示汽车的长度 L表示汽车的轴距
Step3:用不等式表示出约束条件3，即汽车在倒车的第二段过程中，车身（轮廓线在地面的投影）不能越过D点。
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在第二段过程中，当汽车运行到车身与线段DO2垂直时，汽车两后轮连线中点为
S2(x2,y2)，此时汽车刚好以全部的车身长度侧对DO2,车身离车位边角D点的距离最小，所以需满足S2D?W。 2在直角三角形Rt?O1CO2中,O2点横坐标为xO2?x0?(R1?R2)sin?,O2点的纵坐标为yO2?y0?[(R1?R2)cos??R1]，D点坐标为（m，n）,则由两点间的距离公式得
DO2?[m?x0?(R1?R2)sin?]2?[n?y0?(R1?R2)cos??R1]2。
当xO2?m且yO2?n时需满足R2?DO2?W,即当x0?(R1?R2且)s?in?m2y0?[(R1?R2)cos??R1]?n 时，
R2?[m?x0?(R1?R2)sin?]2?[n?y0?(R1?R2)cos??R1]2?W?,??(0,)22
（1-3）
式中：m表示车位的宽度
Step4: 用不等式表示出约束条件4，即汽车在倒车的第三段过程终点停车时，车身左侧不能越过FG，右侧不能越过DE。
如图所示，两后轮连线中点S3点的横坐标为x3?x1?R2(1?sin?),x1?x0?R1sin?则
x3?x0?R1sin??R2(1?sin?)，由此可得
x0?R1sin??R2(1?sin?)?W?m （1-4） 2W?0 （1-5） 2 x0?R1sin??R2(1?sin?)?另外两后轮连线中心点S3的纵坐标为y3?y1?d?R2cos?，y1?y0?R1(1?cos?)，则
?y3?y0?R1(1?cos?)?d?R2cos?，??(0,)
2 在问题一中，题目假定汽车转弯时固定按照36度的转向角前进和后退，即
R1?R2?Lcot36?，综上所述，由1-1到1-5知问题一的模型为
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