第3讲数学归纳法
一、选择题
1.利用数学归纳法证明“1＋a＋a＋?＋a证n＝1成立时，左边应该是( ) A1 B1＋a C1＋a＋a2D1＋a＋a2＋a3
解析当n＝1时，左边＝1＋a＋a2，故选C. 答案 C
2．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是
( )．
2
n＋1
1－an＋2＝(a≠1，n∈N*)”时，在验1－a
A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立 B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立 C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立 D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立
解析 A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数． 答案 D
111
3．用数学归纳法证明1－2＋3－4＋?＋11111－2n＝＋＋?＋2n，则2n－1n＋1n＋2
( )．
当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上 1
A. 2k＋2C.
B．－D.1 2k＋2
11－ 2k＋12k＋211＋ 2k＋12k＋2
11111
解析 ∵当n＝k时，左侧＝1－2＋3－4＋?＋－，当n＝k＋1时，
2k－12k1111111
左侧＝1－2＋3－4＋?＋－2k＋－.
2k－12k＋12k＋2答案 C
4．对于不等式n2＋n (2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即k2＋k 所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法 A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 解析 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，故推理错误． 答案 D 5．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( ) A．6＋6·7k B．2＋7k－1 D．3(2＋7k) ( )． C．2(2＋7k＋1) 解析(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除． (2)假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除， 那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36. 这就是说，k＝n＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，命题对任何k∈N*都成立． 答案D 6．已知1＋2×3＋3×32＋4＋33＋?＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为 11A．a＝2，b＝c＝4 1 C．a＝0，b＝c＝4 ( )． 1 B．a＝b＝c＝4 D．不存在这样的a、b、c 解析 ∵等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3时等式成立，即 c， ?1＝3?a－b?＋ ?1＋2×3＝32?2a－b?＋c， ?1＋2×3＋3×32＝33?3a－b?＋c， ?3a－3b＋c＝1，整理得?18a－9b＋c＝7， ?81a－27b＋c＝34， 11 解得a＝2，b＝c＝4. 答案 A 二、填空题 7．用数学归纳法证明不等式 11113＋＋?＋＞24的过程中，由n＝k推导n＋1n＋2n＋n n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________． 解析 不等式的左边增加的式子是填 1 . ?2k＋1??2k＋2? 1111＋－＝，故2k＋12k＋2k＋1?2k＋1??2k＋2? 1 答案 ?2k＋1??2k＋2?8.用数学归纳法证明： 1222n2n(n＋1)＋＋?＋＝；当推证当n＝k＋1等式也成1×33×5(2n－1)(2n＋1)2(2n＋1)立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 . 解析当n＝k＋1时， 1222k2(k＋1)2 ＋＋?＋＋ 1×33×5(2k－1)(2k＋1)(2k＋1)(2k＋3)k(k＋1)(k＋1)2＝＋ 2(2k＋1)(2k＋1)(2k＋3)k(k＋1)(k＋1)2 故只需证明＋ 2(2k＋1)(2k＋1)(2k＋3)＝ (k＋1)(k＋2) 即可. 2(2k＋3) k(k＋1)(k＋1)(k＋1)(k＋2)答案＋＝ 2(2k＋1)(2k＋1)(2k＋3)2(2k＋3) 9．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，?，则第60个数对是________． 解析 本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1； 4＝1＋3＝2＋2＝3＋1； 5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1； ?； 一个整数n所拥有数对为(n－1)对． 设1＋2＋3＋?＋(n－1)＝60，∴ ?n－1?n 2＝60， 2 ∴n＝11时还多5对数，且这5对数和都为12， 12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7， ∴第60个数对为(5,7)． 答案 (5,7) 1 10．在数列{an}中，a1＝且Sn＝n(2n－1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表 3达式是________． 11 解析 当n＝2时，a1＋a2＝6a2，即a2＝a1＝； 515当n＝3时，a1＋a2＋a3＝15a3， 即a3＝ 11 (a1＋a2)＝； 1435 当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝28a4， 11 即a4＝(a1＋a2＋a3)＝. 2763 1111111 ∴a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝， 31×3153×5355×77×91故猜想an＝. ?2n－1??2n＋1?答案 an＝ 1 ?2n－1??2n＋1? 三、解答题 111n 11．已知Sn＝1＋2＋3＋?＋n(n>1，n∈N*)，求证：S2n>1＋2(n≥2，n∈N*)． 111252 证明 (1)当n＝2时，S2n＝S4＝1＋2＋3＋4＝12>1＋2，即n＝2时命题成立； 111k(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即S2k＝1＋2＋3＋?＋2k>1＋2， 11111k1 则当n＝k＋1时，S2k＋1＝1＋2＋3＋?＋2k＋k＋?＋k＋1>1＋2＋k＋ 2＋122＋1k＋111k2kk1 ＋?＋>1＋＋＝1＋＋＝1＋， ＋ 22k＋2k2222k＋22k1故当n＝k＋1时，命题成立． n 由(1)和(2)可知，对n≥2，n∈N*.不等式S2n>1＋2都成立． 12．已知数列{an}：a1＝1，a2＝2，a3＝r，an＋3＝an＋2(n∈N*)，与数列{bn}：b1 ＝1，b2＝0，b3＝－1，b4＝0，bn＋4＝bn(n∈N*)．记Tn＝b1a1＋b2a2＋b3a3＋?＋bnan. (1)若a1＋a2＋a3＋?＋a12＝64，求r的值； (2)求证：T12n＝－4n(n∈N*)． (1)解 a1＋a2＋a3＋?＋a12＝1＋2＋r＋3＋4＋(r＋2)＋5＋6＋(r＋4)＋7＋8＋(r＋6)＝48＋4r. ∵48＋4r＝64，∴r＝4. (2)证明 用数学归纳法证明：当n∈N*时，T12n＝－4n. ①当n＝1时，T12＝a1－a3＋a5－a7＋a9－a11＝－4，故等式成立． ②假设n＝k时等式成立，即T12k＝－4k，那么当n＝k＋1时， T12(k＋1)＝T12k＋a12k＋1－a12k＋3＋a12k＋5－a12k＋7＋a12k＋9－a12k＋11＝－4k＋(8k＋1)－(8k＋r)＋(8k＋4)－(8k＋5)＋(8k＋r＋4)－(8k＋8)＝－4k－4＝－4(k＋1)，等式也成立． 根据①和②可以断定：当n∈N*时，T12n＝－4n. 2 13．设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an－2nan＋2，n＝1,2,3，? (1)求a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式(不需证明)； (2)记Sn为数列{an}的前n项和，试求使得Sn<2n成立的最小正整数n，并给出