第6讲 分式方程
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考纲要求 1．理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)，知道解分式方程的基本思想是把分式方程化为整式方程． 2．了解解分式方程产生增根的原因，能解决有关字母系数的问题． 3．会列分式方程解决实际问题. 命题趋势 中考中多以选择题、填空题、解答题的形式考查以下几点：(1)找分式方程的最简公分母，将分式方程化成整式方程；(2)已知方程有增根，确定有关字母的值；(3)解分式方程．列分式方程解决实际问题是中考的重点.
知识梳理 一、分式方程
1．分母里含有________的有理方程叫做分式方程．
2．使分式方程分母为零的未知数的值即为__________；分式方程的增根有两个特征： (1)增根使__________为零；
(2)增根是分式方程化成的__________方程的根． 二、分式方程的基本解法 解分式方程的一般步骤：
(1)去分母，把分式方程转化为__________方程． (2)解这个整式方程，求得方程的根．
(3)检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为零，则它不是原方程的根，而是方程的__________，必须舍去；如果使最简公分母不为零，则它是原分式方程的根．
三、分式方程的实际应用
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验： (1)检验所求的解是否是所列分式方程的解； (2)检验所求的解是否符合实际． 自主测试
3x1
1．分式方程－＝的解为( )
2x－4x－22
55
A．x＝ B．x＝ C．x＝5 D．无解
23
2．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，那么
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两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/时，依题意列方程正确的是( )
25352535A．＝ B．＝
xx－20x－20x25352535C．＝ D．＝
xx＋20x＋20x3．已知关于x的分式方程
a＋2
＝1的解是非正数，则a的取值范围是__________． x＋1
考点一、分式方程的解法 x＋1x＋1
【例1】解方程：＝. 2x3
分析：把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程求得分式方程的解．
3
解：原方程两边同乘6x，得3(x＋1)＝2x·(x＋1)，整理得2x2－x－3＝0，解得x＝－1或x＝.经验证知
23
它们都是原方程的解，故原方程的解为x＝－1或x＝. 2
方法总结 解分式方程时应注意以下两点：(1)去分母时，要将最简公分母乘以每一个式子，不要“漏乘”；(2)解分式方程时必须检验，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可．若能使最简公分母为0，则该解是原方程的增根．
x＋2x8
触类旁通1 解方程：＋＝2.
x＋2x－2x－4x－1x5
【例2】解方程：＋＝.
xx－12x－115
解：设＝y，则原方程化为y＋＝. xy2
x－11
解得y1＝2，y2＝.当y＝2时，＝2，解得x＝－1；
2xx－111
当y＝时，＝，解得x＝2.
2x2经检验，x1＝－1，x2＝2均符合题意， 所以原方程的解为x1＝－1，x2＝2.
方法总结 解分式方程时，如按常规用约去分母的方法解，所得到的整式方程比较复杂，不易继续求解，我们可采用换元法求解．一般分式方程有以下两种情况时，可考虑换元法：第一种情况是“倒数型”，如
x－12xx－15xx15＋＝，由于与互为倒数，当设＝y时，原方程可化为2y＋＝；第二种情况是“平
x2xy2x－1x－1x－1
111
x－?2－2?x－?－3＝0，此时设x－＝y，则原方程可化为y2－2y－3＝0. 方型”，如??x??x?x
6660
触类旁通2 方程－＝0的根是________．
x＋3x
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考点二、分式方程的增根
xm
【例3】分式方程－1＝有增根，则m的值为( )
x－1?x－1??x＋2?A．0或3 B．1 C．1或－2 D．3
解析：由(x－1)(x＋2)＝0得增根可能是x＝1或x＝－2，把方程两边都乘(x－1)(x＋2)得x(x＋2)－(x－x
1)·(x＋2)＝m，当x＝1时，得m＝3，当x＝－2时，得m＝0，此时方程变为－1＝0，即x＝x－1，此
x－1时方程无解，故m＝0舍去，∴当m＝3时，原方程有增根x＝1.
答案：D
方法总结 利用增根求分式方程中字母的值：(1)确定增根；(2)将原分式方程化成整式方程；(3)增根代入变形后的整式方程，求出字母的值．
触类旁通3 若解分式方程
mx＋1
＝－1时产生增根，则m的值是( ) x－1
A．0 B．1 C．－1 D．±1 考点三、分式方程的应用
【例4】某品牌瓶装饮料每箱价格26元．某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元．问该品牌饮料一箱有多少瓶？
2626
解：设该品牌饮料一箱有x瓶，依题意，得－＝0.6，
xx＋3
化简，得x2＋3x－130＝0，解得x1＝－13(不合题意，舍去)，x2＝10.经检验：x＝10符合题意． 答：该品牌饮料一箱有10瓶．
方法总结 列分式方程解决实际问题关键是找到“等量关系”，将实际问题抽象为方程问题．同时，既要注意求得的根是否是原分式方程的根，又要根据具体问题的实际意义，检验是否合理．
触类旁通4 某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工要多用30天才可完成．
(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天；
(2)若甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作__________天(用含a的代数式表示)可完成此项工程；
(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？
21
1．(2012浙江丽水)把分式方程＝转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( )
x＋4xA．x B．2x C．x＋4 D．x(x＋4)
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1221
2．(2012四川宜宾)分式方程2－＝的解为( )
x－9x－3x＋3A．3 B．－3 C．无解 D．3或－3
3．(2012浙江台州)小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的1
平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米
4/时，则下面列出的方程中正确的是( )
A．C．
4034040340
＝× B．＝× x4x＋20x＋204x
4014040401
＋＝ D．＝－ xx＋204x＋204x
1－kx1
4．(2012四川攀枝花)若分式方程：2＋＝有增根，则k＝__________.
x－22－x5．(2012广东梅州)解方程：
x＋24＋＝－1. x2－11－x
6．(2012山东临沂)某工厂加工某种产品，机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量3
的2倍多9件．若加工1 800件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的倍．求手工每小7时加工产品的数量．
2?x2－1?xx
1．解方程2＋＝3时，设2＝y，则原方程化为y的整式方程为( )
xx－1x－1A．2y2－6y＋1＝0 B．y2－3y＋2＝0 C．2y2－3y＋1＝0 D．y2＋2y－3＝0 2x－53
2．分式方程＝的解是( )
x－22－xA．x＝－2 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝1或x＝2
m－1x
3．若关于x的方程－＝0没有增根，则m的值不能是( )
x－1x－1A．3 B．2 C．1 D．－1
4．某单位向一所希望小学赠送1 080件文具，现用A，B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个．设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为( )
1 0801 0801 0801 080A．＝＋12 B．＝－12
xxx－15x－151 0801 0801 0801 080C．＝－12 D．＝＋12
xxx＋15x＋15
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5．已知x＝1是分式方程
13k
＝的根，则实数k＝________. x＋1x
2
6．若与1互为相反数，则x的值是__________．
x－1
2x＋m
7．已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围为__________．
x－22x＋1x
8．解分式方程：(1)＋1＝；
xx＋112x
(2)－2＝1. x＋1x－1
9．某市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米．
参考答案
导学必备知识 自主测试
55
1．B 去分母，得3－2x＝x－2，解得x＝.经检验x＝是原方程的解．
332．C 相等关系为：货车行驶25千米所用时间＝小车行驶35千米所用时间． 3．a≤－1 去分母，得a＋2＝x＋1，解得x＝a＋1，由题意得a＋1≤0，所以a≤－1. 探究考点方法
触类旁通1．解：去分母，得x(x－2)＋(x＋2)2＝8. 去括号，得x2－2x＋x2＋4x＋4＝8. 整理，得x2＋x－2＝0.解得x1＝－2，x2＝1.
检验，当x1＝－2时，x2－4＝4－4＝0，∴x1＝－2是增根； 当x2＝1时，x2－4＝1－4＝－3≠0， ∴原方程的根是x＝1.
6660
触类旁通2．解：－＝0，
x＋3x60x＋180＝66x， x＝30.
触类旁通3．C 使分母为零的未知数的值即为增根，增根一定是分式方程转化为整式方程后的这个整式方程的根．
∵
mx＋1
＝－1有增根，∴x－1＝0，∴x＝1，∴mx＋1＝－x＋1.当x＝1时，解得m＝－1. x－1
触类旁通4．解：(1)设乙单独做x天完成此项工程，则甲单独做(x＋30)天完成此项工程．由题意，得11
20?x＋x＋30?＝1，
??
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