第五讲二次型
一、二次型的概念及标准形 1、 二次型的概念及几种表述
数域F上的n元二次齐次函数称为数域F上的n元二次型。有以下几种表述方式： （1）f(x1,x2,?,xn)???axxijii?1j?1nnj；
222（2）f(x1,x2,?,xn)?a11x1?a22x2???annxn?2?axxijii?jj；
T（3）f(x1,x2,?,xn)?XTAX，其中XT?(x1,x2,?,xn)，A?(aij)n?n，且A?A，并称A为二次型的矩阵。 2、矩阵合同
（1） 设A,B?Fn?n,若存在可逆矩阵T?Fn?n，使B?TAT，则称A与B是合同的。
T（2） 合同是矩阵间的一种等价关系。
（3） 二次型经过非退化的线性替换仍变为二次型，且新老二次型的矩阵是合同的。
3、 标准形
222（1） 二次型f(x1,x2,?,xn)?d1x1称为标准形。 ?d2x2???dnxn（2） 任何二次型都可以通过非退化线性替换化成标准形。 （3） 任何对称矩阵都合同于一个对角阵。
4、 复数域上二次型的规范形
222（1） 复二次型f(x1,x2,?,xn)?d1x1，其中di?1或0，称为复?d2x2???dnxn数域上的规范形。
（2） 任何复二次型f(x1,x2,?,xn)?XTAX都可以通过非退化线性替换化成规范
22形f(x1,x2,?,xn)?y1?y2???yr2，其中r?秩A，且规范形是唯一的。
（3） 任何复对称矩阵A都合同于对角阵??Er?00??，其中r?秩A。 0?（4） 两个复对称矩阵合同的充要条件是秩相等。 5、 实数域上二次型的规范形
（1） 实二次型f(x1,x2,?,xn)?d1x1?d2x2???dnxn，其中di?1,?1或0，称为
实数域上的规范形。
（2） 任何实二次型f(x1,x2,?,xn)?XAX都可以通过非退化线性替换化成规范
形f(x1,x2,?,xn)?y1?y2???yp?yp?1???yr，其中r?秩A，p是正
惯性指数，且规范形是唯一的。
（3） 惯性定理 任何实二次型经过非退化线性替换化成的标准形中，正平方项的个数
22222T222和负平方项的个数是唯一确定的，在实二次型的标准形
f(1x,x,2?2,x?)?1yn1b22?b??2yp22?by?c?1yp?p1?2?qpqcy(bi?0c,j?i0?,?1,p2j,?,?;q中，1,p称为正惯性指数，q称为负
惯性指数，p?q称为符号差，且p?q?秩A。 二、 正交阵、实对称阵的正交化标准形
1、 正交阵
（1）A?Rn?n,若ATA?E,则称A为正交阵。 （2）正交阵的等价定义有：A?(aij)n?n?Rn?n，
A是正交阵?ai1aj1?ai2aj2???ainajn???1,i?j,；
?0,i?j.A是正交阵?a1ia1j?a2ia2j???anianj??A是正交阵?AT?A?1。
（3）A是正交阵，则A?1或?1。
?1,i?j,；
?0,i?j.（4）A是正交阵，则A的特征值的模为1；如果正交阵A有实特征值，则只能为?1。
??1???1??（5）正交矩阵A可以对角化，即存在复可逆矩阵T，使A?T??T，其
??n???中?1,?,?n为A的全部特征根，且2、 施密特正交化方法：
设?1,?2,?,?n(?Rn)线性无关， （1） 正交化：令?1??1，
?i?1(i?1,?,n)。
?k??k?(?k,?1)(?,?)?1???kk?1?k?1,(k?2,?,n)；
(?1,?1)(?k?1,?k?1)（2） 单位化：令?k?1?k?k(k?1,2,?,n)；
（3） 令A?(?1,?2,?,?n)，则A为正交矩阵。
3、 实对称矩阵的标准形
（1） 实对称矩阵的特征值均为实数；
（2） 属于实对称矩阵A的不同特征值的特征向量必正交；
??1???T?1?（3） AT?A(?Rn?n)，则存在正交矩阵T，使得TAT?TAT?? ?。??n???（4） 任一实二次型f(x1,x2,?,xn)?XTAX，其中A?A?R22变换X?TY，使f(x1,x2,?,x)n??y??y??yn1122??2nTn?n，则存在正交
，?1,?2,?,?n是
A的全部实特征值。
三、正定二次型 1、 正定二次型
（1） 设实二次型f(x1,x2,?,xn)?XTAX，其中A?A?R是正定二次型的等价条件：
对任意实向量CT?(c1,c2,?,cn)?0，都有f(x1,x2,?,xn)?CTAC?0；
Tn?n，则下列条件都
?d1???T?存在实可逆阵T，使TAT???，其中di?0，(i?1,2,?,n)； ?dn???f的正惯性指数与秩都等于n； A的特征值全为正；
A合同于E；
A的一切主子式都大于0； A的一切顺序主子式都大于0。
（2） 当实二次型f(x1,x2,?,xn)?XTAX是正定二次型时，称A为正定阵，因此上面这此条件也是正定阵的等价条件。
2、 负定二次型
（1） 设实二次型f(x1,x2,?,xn)?XTAX，其中A?A?R是负定二次型的等价条件：
对任意实向量C?(c1,c2,?,cn)?0，都有f(x1,x2,?,xn)?CAC?0；
TTTn?n，则下列条件都
?d1???T?存在实可逆阵T，使TAT???，其中di?0，(i?1,2,?,n)； ?dn???f的负惯性指数与秩都等于n；
A的特征值全为负； A合同于?E；
?f(x1,x2,?,xn)?XT(?A)X是正定二次型；
A的一切奇数阶主子式都小于0，A的一切偶数阶主子式都大于0；
A的一切奇数阶顺序主子式都小于0，A的一切偶数阶顺序主子式都大于0。
（2） 当实二次型f(x1,x2,?,xn)?XTAX是负定二次型时，称A为负定阵，因此上面这此条件也是负定阵的等价条件。
3、 半正定二次型
（1） 设实二次型f(x1,x2,?,xn)?XTAX，其中A?A?R都是半正定二次型的等价条件：
对任意实向量CT?(c1,c2,?,cn)，都有f(x1,x2,?,xn)?CTAC?0；
Tn?n，则下列条件
?d1???T?存在实可逆阵T，使TAT???，其中di?0，(i?1,2,?,n)； ?dn???f的正惯性指数与秩相等； A的特征值全非负；
A的一切主子式都非负；
存在实矩阵B，使得A?BB。
（2） 当实二次型f(x1,x2,?,xn)?XTAX是半正定二次型时，称A为半正定阵，因此上面这此条件也是半正定阵的等价条件。
4、半负定二次型，类似半正定二次型可以表述。 5、不定二次型
（1） 设实二次型f(x1,x2,?,xn)?XTAX，其中A?A?RTn?nT，
若存在两个实向量CT?(c1,c2,?,cn)和DT?(d1,d2,?,dn)，使得
f(c1,c2,?,cn)?CTAC?0且f(d1,d2,?,dn)?DTAD?0。则称f(x1,x2,?,xn)为不定二次型。
（2）不定二次型的矩阵A的特征值必有正有负。