2018海淀一模
28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在一点T不与O重合，使点P关于直线OT的对称点P'在⊙C上，则称P为⊙C的反射点．下图为⊙C的反射点P的示意图．
（1）已知点A的坐标为(1,0)，⊙A的半径为2，
①在点O(0,0)，M(1,2)，N(0,?3)中，⊙A的反射点是____________； ②点P在直线y??x上，若P为⊙A的反射点，求点P的横坐标的取值范围； （2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，y轴上存在点P是⊙C的反射点，直接写出圆心C的横坐标x的取值范围．
y
TP
C
P’
Ox28．解（1）①A的反射点是M，N．………………1分
②设直线y??x与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为D，E，F，
G，过点D作DH⊥x轴于点H，如图．
可求得点D的横坐标为?32． 22，2同理可求得点E，F，G的横坐标分别为?232，． 22点P是A的反射点，则A上存在一点T，使点P关于直线OT的对称点P'在A上，则OP?OP'.
∵1≤OP'≤3，∴1≤OP≤3．
反之，若1≤OP≤3，
A上存在点Q，使得
A相交．因此点P是
A的反射点．
OP?OQ，故线段PQ的垂直平分线经过原点，且与
322232≤x≤?≤x≤，或．………………4分 2222（2）圆心C的横坐标x的取值范围是?4≤x≤4．………………7分
∴点P的横坐标x的取值范围是?2018朝阳一模
28. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，其中A(t，0)、B(t+2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为线段AB的伴随点． （1）当t=?3时，
①在点P1（1，1），P2（0，0），P3（-2，-1）中，线段AB的伴随点是；
②在直线y=2x+b上存在线段AB的伴随点M、N，且MN?5，求b的取值范围； （2）线段AB的中点关于点（2，0）的对称点是C，将射线CO以点C为中心，顺时针旋转30°得到射线l，若射线l上存在线段AB的伴随点，直接写出t的取值范围．
28. 解：（1）①线段AB的伴随点是: P2,P…………2分 3.
②如图1，当直线y=2x+b经过点（?3，?1）时，b=5，此时b取得最大值.……………4分
如图2，当直线y=2x+b经过点（?1，1）时，b=3，此时b取得最小值. …5分
∴ b的取值范围是3≤b≤5. …………6分
图1 图2
（2）t的取值范围是?
1?t?2.………………………8分 22018东城一模
28．给出如下定义：对于⊙O的弦MN和⊙O外一点P（M，O，N三点不共线，且P，O在
直线MN的异侧），当∠MPN＋∠MON=180°时，则称点 P是线段MN关于点O
的关联点．图1是点P为线段MN关于点O的关联点的示意图.
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.
?22??22?（1）如图2，M?，B（1，1），C?20,?2,2??，N??2,?2??.在A（1，0）
????中，是线段MN关于点O的关联点的是；
?三点
?31?（2）如图3，M（0，1），N??2,?2??，点D是线段MN关于点O的关联点.
??①∠MDN的大小为°； ②在第一象限内有一点E
?3m,m，点E是线段MN关于点O的关联点，判断△MNE的形
?状，并直接写出点E的坐标； ③点F在直线y??3x?2上，当∠MFN≥∠MDN时，求点F的横坐标xF的取值范围． 328. 解：（1）C； --------------2分 （2）① 60°；
② △MNE是等边三角形，点E的坐标为③ 直线y???3，1；--------------5分
?3x?2交 y轴于点K（0，2），交x轴于点T23，0. 3??∴OK?2，OT?23. ∴?OKT?60?.
作OG⊥KT于点G,连接MG. ∵M?0，1?，
∴OM=1.
∴M为OK中点 . ∴ MG =MK=OM=1.
∴∠MGO =∠MOG=30°，OG=3. ?33?∴G?. ??2，?2??∵?MON?120?, ∴ ?GON?90?. 又OG?3，ON?1， ∴?OGN?30?. ∴?MGN?60?.
∴G是线段MN关于点O的关联点. 经验证，点E?31，在直线y???3x?2上. 3结合图象可知， 当点F在线段GE上时 ，符合题意. ∵xG≤xF≤xE， ∴
3≤xF≤3.--------------8分 22018丰台一模
W2给出如下定义：28．对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形W1，点P为图形W1上
一点，点Q为图形W2上一点，当点M是线段PQ的中点时，称点M是图形W1，W2的“中立点”．如果点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，那么“中立点”M的坐标为?已知，点A(-3，0)，B(0，4)，C(4，0)． （1）连接BC，在点D(
?x1?x2y1?y2?,?． 22??11，0)，E(0，1)，F(0，)中，可以成为点A和线段BC的“中22立点”的是____________；
（2）已知点G(3，0)，⊙G的半径为2．如果直线y=-x+1上存在点K可以成为点A和⊙G的“中立点”，求点K的坐标；
（3）以点C为圆心，半径为2作圆．点N为直线y=2x+4上的一点，如果存在点N，使得y轴上的一点可以成为点N与⊙C的“中立点”，直接写出点N的横坐标的取值范
围．
y65
4
3
2 1
7654321O123456x 12
3
4
5 628．解：（1）点A和线段BC的“中立点”的是点D，点F； ………72分 8（2）点A和⊙G的“中立点”在以点O为圆心、 半径为1的圆上运动. 因为点K在直线y=- x+1上， 设点K的坐标为（x，- x+1），
222
则x+（- x+1）=1，解得x1=0，x2=1.
所以点K的坐标为（0，1）或（1，0）. ………5分
（3）（说明：点N与⊙C的“中立点”在以线段NC的中点P为圆心、
半径为1的圆上运动.圆P与y轴相切时，符合题意.） 所以点N的横坐标的取值范围为-6≤xN≤-2. ………8分
y y
x
x
2018房山一模
28. 在平面直角坐标系xOy中，当图形W上的点P的横坐标和纵坐标相等时，则称点P为图形W的“梦之点”. （1）已知⊙O的半径为1. ①在点E（1,1），F（－22
,－ ）,M(－2，－2)中，⊙O的“梦之点”为； 22
②若点P位于⊙O内部，且为双曲线y?k（k≠0）的“梦之点”，求k的取值范围. x（2）已知点C的坐标为（1，t），⊙C的半径为2 ，若在⊙C上存在“梦之点”P，直接写