1. 目标规划模型的特点是引入了 变量，模型的目标函数是这些变量的极 （大还是小）化，模型的约束中也含有用这种变量表示的 约束。(2000) 解：偏差变量；极小；目标（软）. 解： 解： 解： 解：
四、动态规划 四（25分）、某投资者拟对A与B两种基金进行投资，投资期限5年。该投资的收益有两部分：一是长期的至第5年末的红利收入，年利率分别为IA=0.06和IB=0.04，计复利且5年间利率不变（例如，第1年初投入A基金1元，5年后红利收入（1+0.06）5元）；二是短期的每年利息收入，两种基金在不同年份的利率iAK和iBK见下表（例如，第1年初投入A基金1元，除5年后的红利收入外，一年后还有0.02元的利息收入）。 年份 基金 A B 1 0.020 0.050 2 0.023 0.050 3 0.024 0.055 4 0.026 0.045 5 0.030 0.055 该投资者第1年初投入资金50000元，以后第2至5年初每年还再投入10000元（不包括已投资的利息收入），收益计算方法相同（如第2年初投入A基金1元，第5年末红利收
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入（1+0.06）元，同时第2至5年末还有年利息）。所有投入基金的资金（包括年利息）在第5年末之前不得支取。现投资者需决定每年初的资金（当年投入资金加已投资金的短期年利息）对基金A和B的分配额，以使第5年末总收入最大。 拟用动态规划方法解决此问题（按逆序递推），设：状态变量Sk为第k年初可分配的资金总量：决策变量xk为第k年初分配给基金A的资金量。
1． 写出：（1）状态转移方程；（2）阶段指标（提示：第5年的阶段指标因年末短期年
利息收入不再投入需单独表示）；（3）基本（递推）方程。
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2． 求出最优指标f5(s5)和f4(s4)以及相应的最优决策x5(s5)和x4(s4)。（2007）
四、 解: 1．
(1) sk?1?xk?iAK?(sk?xk)?iBK?10000; s1?50000
(2) 阶段指标函数vk(sk,xk)?xk(1?0.06)6?k?(sk?xk)(1?0.04)6?kv5(s5,x5)?x5?iA5?(s5?x5)?iB5?x5(1?0.06)?(s5?x5)(1?0.04)
(3) 递推方程f6(s6)?0f5(s5)?max?x5?iA5?(s5?x5)?iB5?x5(1?0.06)?(s5?x5)(1?0.04)?f6(s6)?
0?x5?s5fk(sk)?maxxk(1?0.06)6?k?(sk?xk)(1?0.04)6?k?fk?1(sk?1) (k?1,2,3,4)0?xk?sk??sk?1?xk?iAK?(sk?xk)?iBK?100002．
f5(s5)?max?x5?iA5?(s5?x5)?iB5?x5(1?0.06)?(s5?x5)(1?0.04)?f6(s6)?0?x5?s5 ?max?0.03x5?0.055(s5?x5)?x5(1?0.06)?(s5?x5)(1?0.04)?0?0?x5?s5 ?max?1.095s5?0.005x5?0?x5?s5*当x5?0时，取得最大值，f5(s5)?1.095s50?x4?s4f4(s4)?max?x4(1?0.06)6?4?(s4?x4)(1?0.04)6?4?f5(s5)?22 ?max?x4(1?0.06)?(s4?x4)(1?0.04)?1.095s5? ?max?x4(1.06)2?(s4?x4)(1.04)2?1.095[x4?iA4?(s4?x4)?iB4?10000]?0?x4?s40?x4?s40?x4?s40?x4?s4
?max?1.1236x4?1.0816(s4?x4)?1.095[0.026x4?0.045(s4?x4)?10000]?? ?max?1.1309s4?0.0212x4?10950*当x4?s4时，取得最大值，f4(s4)?1.1521s4?10950四（18%）、某工厂生产N种产品，它们都要使用某种原材料，现该原材料共有a吨，若分配xj吨原材料给第j种产品，则可产生的收益为g（，j=1，?，jxj）
N。现工厂需拟定使总收益最大的原材料分配方案，试就以下1、2两小题选答一题。
1、（1）写出此问题的数学规划模型；
（2）拟用动态规划方法求解，请写出此问题的阶段变量，状态变量、决策变量、状态转移、阶段指标、指标函数、基本方程（不解）。
2、若工厂生产N=3种产品（分别称为A、B、C），共有原材料a=3吨，各种产品被分配该原材料后产生的收益见表1，请用动态规划方法求解使总收益最大的分配方案。 （2006）
表1 产 分 A B C 品 配 量 ( 吨 ) 0 1 2 3 0 10 17 20 0 6 17 18 0 8 11 11
解：四
2 阶段变量k=1，2，3 表示给3种产品分配原材料的过程
状态变量sk，表示给第k种产品分配原料时拥有的资源数 决策变量xk，表给第k中产品分配的原料量 状态转移方程：Sk?1?Sk?xk 阶段指标：vk为离散型，见下表
基本方程
k 3 ?fk(sk)?max?vk?fk?1(sk?1)? ??f4(s4)?0sk 0 1 2 3 xk 0 1 2 3 0 0 1 2 3 0 1 2 0 1 2 3 vk 0 10 17 20 0 0 6 0 6 17 0 6 17 18 0 8 11 11
vk+fk+1(sK+1) 0+0 10+0 17+0 20+0 0+0 0+10 6+0 0+17 6+10 17+0 0+20 6+17 17+10 18+0 0+27 8+17 11+10 11+0 27 0-2-1 27 17 0-2 或2-0 2-1 fk(sK) 0 10 17 20 0 10 pkn 0 1 2 3 0-0 0-1 2 0 1 1 3 0 1 2 3
?最大收益27，分配方案0-2-1，即给A分配0吨，B分配2吨，C分配1吨。
四（9%）、考虑下面的非线性整数规划 max z?x1x2g3(x3)
?x1?x2?x3?20 s.. t?x?0且为整数 i?1,2,3?i
?12?3x30?x3?3?3?x3?10 其中 g3(x3)??3?3?x310?x3?20?10现拟用动态规划方法解此问题（用通常的逆推解法），要求： (1) 写出以下表达式或集合的具体内容： ①本问题的状态转移方程
sk?1?
?fk(sk)??②递推方程 ?
?f(s)??44③第1阶段的状态集合S1???
④第2阶段状态为5时的允许决策x2的集合D2(5)={ }；
*(2) 计算第2阶段状态为12时的最优指标函数值f2(12)及相应的最优决策x2(12)。
（2005）
解：四 （1）
①Sk?1?Sk?xk
???12???3x3f4(S4)0?x3?3???3?x3?10当k?3时???3f4(S4)???fk(Sk)?maxvk,fk?1(Sk?1)???3②? ??x3f4(S4)10?x3?20???10??当k?1或2时?xk?fk?1(Sk?1)??f?4(s4)?1③ S1??20?
④ D2(5)??0,1,2,3,4,5? （2） 第2阶段k=12,则3段k=8 ?f3(S3)?3?1?3
f2(12)?max?3x2?0?x2?12
?
*f2(12)?36,x2?12
Ⅱ2
k 2 Sk 12 xk 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 * ?f2(12)?36x2(12)?12
vk 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Vkfk+1(Sk+1) 0?3 1?3 2?3 3?3 4?3 5?3 6?3 7?3 8?3 9?3 10?3 11?3 12?3 Fk(Sk) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 pnk 12
四（15%）、某工厂购进100台机器，准备用于生产A，B两种产品。若生产产品A，每台机器每年可收入45万，损坏率为65%，若生产产品B每台机器年收入35万，损坏率为35%，估计三年后将有新的机器出现，旧的机器将全部淘汰。请在下列两问中任选一问： 1、 试问每年就如何生产，使三年内的收入最多？运用动态规划方法具体计算求解。
2、 写出用动态规划方法求解时的阶段变量、状态变量、决策变量、状态转移、阶段指标、
指标函数、基本方程（递推公式），不必具体计算。但请简要说明当不能肯定三年后将有新的机器出现，而要求到第三年末保留一定数量的旧机器时求解过程将做何调整。（2004） 解：四、
阶段变量K=1,2,3表第K年，状态变量SK表第K年初的好机器数目，决策变量XK，表示第K年决定把XK台机器投入A产品的生产，状态转移方程SK+1=0.35XK+0.65（SK-XK）
Sk?1?0.35xk?0.65(Sk?xk)
阶段指标，VK=45XK+35（SK-XK）Vk?45xk?35(Sk?xk) 递推方程：?Vk?fk?1(Sk?1)??fk(Sk)?max?
?f4(S4)?0具体计算如下： k=3时：
f3(S3)?max?45x3?35(s3?x3)?0)?max?10x3?35s3??45s3(x3?s3)
*k=2时：