∴点P的坐标为4?23，?6?43
综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为：4?23，6?43或4?23，?6?43
点评：本题是一道二次函数与圆的综合题，解决本题的关键是：作出将劣弧沿x轴翻折后的弧所在圆⊙D'，并充分利用轴对称的性质．本题考点：1．直线与圆的位置关系(切线的性质)；2．轴对称；3．等腰直角三角形的性质，4．三角函数；5．二次函数解析式的确定．
【例4】 如图，在平面直角坐标系中，以点C(0，4)为圆心，半径为4的圆交y轴正半轴于点A，
??????AB是⊙C的切线．动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从O点开始沿x轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P、Q从点A和点O同时出发，设运动
时间为t(秒)． ⑴当t?1时，得到P1、Q1两点，求经过A、P1、Q1三点的抛物线解析式及对称轴l； ⑵当t为何值时，直线PQ与⊙C相切？并写出此时点P和点Q的坐标；
⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l上存在一点N，使NP?NQ最小，求出点N的坐标并说明理由．
yAlP1PByAlP1PBMCCOQ1QxOQ1Qx
【解析】⑴ 由题意得A，P1，Q1的坐标分别为A(0，8)，P8)，Q1(4，0)． 1(1，?8?c?设抛物线解析式为y?ax2?bx?c，则?8?a?b?c
?0?16a?4b?c?22∴a??，b?，c?8．
3322∴所求抛物线为y??x2?x?8．
331对称轴为直线l：x?．
2C切于点M． ⑵ 设t?a时，PQ与⊙
连结CP，CM，CQ，则PA?PM?a，QO?OM?4a．
又CP，CQ分别平分?APQ和?OQP 而?APQ??OQP?180?，
?PCQ?90? ?CPQ??CQP?90?，∴∴
Rt?CMP∽CM?PQ，∴Rt?QMC ∵
CMQM44aa??2 ∴即?，∴?PMCMa4由于时间a只能取正数，所以a?2
C相切 即当运动时间t?2时，PQ与⊙
此时：P(2，8)，Q(8，0)
⑶ 点P关于直线l的对称点为P'(?1，8)
864则直线P'Q的解析式为：y??x?
99120120∴直线P'Q交直线l于N(，)，此时NP?NQ最小，∴N(，)
2233
1【例5】 如图，点M?4，以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A，B．已知抛物y?x2?bx?c0?，
6过点A和B，与y轴交于点C． ⑴ 求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象．
1⑵ 点Q?8，m?在抛物线y?x2?bx?c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ?PB 最
6小值． ⑶ CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．
yCAME【解析】⑴由已知，得A?2，0?，B?6，0?，
ODBx
1∵抛物线y?x2?bx?c过点A和B，
6?124?2?2b?c?0,???6?b??,则?，解得?3
1??62?6b?c?0,??c?2.??6142?． 则抛物线的解析式为y?x2?x?2，故C?0，63(说明：抛物线的大致图象要过点A、B、C，其开口方向、顶点和对称轴相对准确) ⑵如图①，抛物线对称轴l是 x?4．
m?2． ∵Q(8，m)抛物线上，∴
0?，QK?2，AK?6， 过点Q作QR?x轴于点K，则K?8，∴AQ?AK2?QK2?210．
B?6，0?与A?2，0?关于对称轴l对称， 又∵
PQ?PB的最小值?AQ?210． ∴
y l P y Q C O D A E 图① M B C x O D A E 图②
M x B K
⑵当E在第四象限时，如图②，连结EM和CM．
由已知，得 EM?OC?2． CE是⊙M的切线，∴?DEM?90?，则?DEM??DOC．
?ODC??EDM，∴?DEM≌?DOC． 又∵
∴OD?DE，CD?MD． 又在?DOE和?MDC中， ?ODE??MDC，?DOE??DEO??DCM??DMC，则OE∥CM． 设CM所在直线的解析式为y?kx?b，CM过点C?0，2?，M?4，0?，
1??4k?b?0,?k??∴，解得?2 ?b?2,???b?21直线CM的解析式为y??x?2．
21又∵直线OE过原点O，且OE∥CM，则OE的解析式为y??x．
2当E在第一象限时，易得四边形COME为矩形，此时E(4，2)
1x 2点评：本题难度不大，第⑵问中，求距离和最短问题是我们在学习轴对称时的一个典型问题；第⑶问需注意，过圆外一点引圆的切线有两条．考点：1．二次函数解析式的确定；2．轴对称；3．切线的性质；4．一次函数解析式的确定．
∴直线OE的解析式为y?
2??【例6】 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1经过点A??2，0?和点B?0，3?，直线l2的函数表达式
3??34x?3，l1与l2相交于点P．⊙C是一个动圆，圆心C在直线l1上运动，设圆心C的33横坐标是a．过点C作CM?x轴，垂足是点M． ⑴ 填空：直线l1的函数表达式是 ，交点P的坐标是 ，?FPB的度数是 ；
为y??⑵ 当⊙C和直线l2相切时，请证明点P到直线CM的距离等于⊙C的半径R，并写出R?32?2 时a的值． ⑶ 当⊙C和直线l2不相离时，已知⊙C的半径R?32?2，记四边形NMOB的面积为S(其中点N是直线CM与l2的交点)．S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时a的值；若不
存在，请说明理由．
yyl232A-21OPE1234xCl1l22BA-2OyFPCGDM图甲l22B1OFPCN1l1E4xl1A-2M图乙E4x
【解析】⑴ y?32x?3，P1，3，60? 33⑵ 设⊙C和直线l2相切时的一种情况如图甲所示，D是切点，连接CD，则CD?PD．
??过点P作CM的垂线PG，垂足为G，
CP?PC?， 所以PG?CD?R． 则Rt?CDP≌Rt?PGC??PCD??CPG?30?，当点C在射线PA上，⊙C和直线l2相切时，同理可证． 取R?32?2时，a?1?R?32?1，或a???R?1??3?32．
⑶ 当⊙C和直线l2不相离时，则3?32?a?32?1，由⑵知，分两种情况讨论：
① 如图乙，当0≤a≤32?1时，
12334332S?[?(?a?)]?a??a?3a，
23336当a??32?(?3)6② 当3?32≤a?0时，
32S?a?3a显然⊙C和直线l2相切，即a?3?32时，S最大．
612334333此时S最大值?[． ?(3?32)?]?3?32?233324?(?33 2点评：本题共3问，这3问之间难度递增，且环环相扣，解决后面的问题时要注意应用前面的结论，解决第⑶问时要先确定a的取值范围，然后分类讨论．考点：1．一次函数解析式的确定；2．等边三角形的判定及性质；3．直线与圆的位置关系；4．全等三角形；5．两函数图象交点坐标的确定；6．二次函数的最值．
此时S最大值?3)6?3?3时，(满足a≤32?1)，S有最大值．
933(或)．
232?综合以上①和②，当a?3或a?3?32时，存在S的最大值，其最大面积为【答案】（1）y?32x?3，P1，3，60?；（2）a?32?1或a?3?32；（3）当a?3或a?3?323333时，存在S的最大值，其最大面积为
2??
【例7】 已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数y?kx?1的图象与
4?．平行于x轴的直线l过二次函数的图象交于A，B两点(A在B的左侧)，且A点坐标为??4，?0，?1?点．
⑴ 求一次函数与二次函数的解析式；
⑵ 判断以线段x?CA?tan?为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明； ⑶ 把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位?t?0?，二次函数的图象与x轴交于
M，N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小？
最小面积是多少？
yAyHFBCENOMxlOxlA'B'【考点】二次函数与圆综合，直线与圆位置关系的确定，切线的性质及判定
【难度】5星 【题型】解答
【关键词】2006年，山东潍坊
3【解析】⑴ 把A(?4，4)代入y?kx?1得k??，
4
3∴一次函数的解析式为y??x?1；
4∵二次函数图象的顶点在原点，对称轴为y轴， ∴设二次函数解析式为y?ax2， ∴把A(?4，4)代入y?ax2得a?11，∴二次函数解析式为y?x2．
443?y??x?1?x?1??x??4?1?4⑵ 由?，解得?或?B(1，)， 1，∴
4y??y?4?y?1x2??4??4过A，B点分别作直线l的垂线，垂足为A?，B?，
则AA??4?1?5，BB??15?1?， 445?54?25， 28∴直角梯形AA?B?B的中位线长为
过B作BH垂直于直线AA?于点H，则BH?A?B??5，AH?4?115?， 4425?15?∴， AB?5????44??∴AB的长等于AB中点到直线l的距离的2倍， ∴以AB为直径的圆与直线l相切． ⑶ 平移后二次函数解析式为y?(x?2)2?t，
22令y?0，得(x?2)2?t?0，x1?2?t，x2?2?t， ∵过E三点的圆的圆心一定在直线D上，点C为定点， ∴要使圆面积最小，圆半径应等于点F到直线x?2的距离， 此时，半径为2，面积为4π，
设圆心为C，MN中点为E，连CE，CM，则CE?1， 在三角形CEM中，ME?22?1?3，
t?3 MN?23，而MN?x2?x1?2t，∴∴
∴当t?3时，过F，M，N三点的圆面积最小，最小面积为4π
点评：本题综合了函数与圆的有关知识，题目设计比较新颖，本题亮点在第(2)(3)问，这两问都需要确定圆心位置，要求学生较好的掌握圆的有关性质，并能灵活运用．考点：1．一次函数，二次函数解析式的确定；2．直线与圆的位置关系，3．二次函数图象的平移；4．圆心的性质；5．点到直线垂线段最短．
31【答案】（1）一次函数的解析式为y??x?1；二次函数解析式为y?x2．（2）以AB为直径的圆与直线
44l相切．（3）当t?3时，过F，M，N三点的圆面积最小，最小面积为4π
0?，顶点D在O上运动． 【例8】 如图1，O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为?5，⑴ 当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与O相切；
⑵ 当直线CD与O相切时，求OD所在直线对应的函数关系式； ⑶ 设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最
大值与最小值．