3-1-3多次相遇和追及问题
教学目标
1. 学会画图解行程题
2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题 3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题
知识精讲
板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题
所有行程问题都是围绕“路程?速度?时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．
【例 1】 （难度等级 ※）甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每
秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？
【解析】 从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为300?10?3000米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了
3000?3.5?1400米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行3.5?4300?200?100米才能回到出发点．
【巩固】 （难度等级 ※）甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是
每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？
【解析】 17
【巩固】 （难度等级 ※）甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次
相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米?
【解析】 176
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二、运用倍比关系解多次相遇问题
【例 2】 （难度等级 ※※）上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，
在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？
【解析】 画一张简单的示意图：
图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是 4
＋ 8＝ 12（千米）.
这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.
少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟. 8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分。
【例 3】 （难度等级 ※※）甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相
遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米？
【解析】 画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：
可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个
A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285（千米），而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：95×3-25=285-25=260(千米)．
【巩固】 （难度级别 ※※）甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一
次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.
【解析】 4×3=12千米，通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距B地的3千米，所
以全程是12-3=9千米，所以两次相遇点相距9-（3+4）=2千米。
【巩固】 （难度等级 ※※）甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一
次相遇地点离A地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地5千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.
3-1-3.多次相遇与追及问题.题库 教师版 page 2 of 14 【解析】 4千米
【巩固】 （难度等级 ※※）甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一
次相遇地点离A地6千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地4千米处第二次相遇，求两人第5次相遇地点距B 多远.
【解析】 12千米
【巩固】 （难度等级 ※※）甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一
次相遇地点离A地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求第三次相遇时共走了多少千米.
【解析】 90千米
【巩固】 （难度等级 ※※）甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一
次相遇地点离A地3千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地2千米处第二次相遇，求第2000次相遇地点与第2001次相遇地点之间的距离.
【解析】 4千米
【巩固】 （难度等级 ※※）甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一
次相遇地点离A地18千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地13千米处第二次相遇，求AB两地之间的距离.
【解析】 41千米
【例 4】 （难度等级 ※※※）如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反
的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．
【解析】 注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完
共走完1+
1圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙213＝圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相22遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=300米．有甲、乙第二次相
3-1-3.多次相遇与追及问题.题库 教师版 page 3 of 14 遇时，共行走(1圈－60)+300，为
3圈，所以此圆形场地的周长为480米． 2
【巩固】 （难度等级 ※※※）如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向
行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.
【解析】 360
【巩固】 A、B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，
在D点第二次相遇．已知C离A有75米，D离B有55米，求这个圆的周长是多少米？
【解析】 340
三、多次相遇与全程的关系
1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程； 第2次相遇，共走3个全程； 第3次相遇，共走5个全程； …………， ………………； 第N次相遇，共走2N-1个全程；
注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。 2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程； 第2次相遇，共走4个全程； 第3次相遇，共走6个全程； …………， ………………； 第N次相遇，共走2N个全程； 3、多人多次相遇追及的解题关键 多次相遇追及的解题关键 几个全程 多人相遇追及的解题关键 路程差
【例 5】 小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为6米/秒，小红
的速度为4米/秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟．在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？
（6?4）?10(秒)．此后，两人每相遇【解析】 第一次相遇时，两人共跑完了一个全程，所用时间为：100?一次，就要合跑2倍的跑道长，也就是每20秒相遇一次，除去第一次的10秒，两人共跑了
3-1-3.多次相遇与追及问题.题库 教师版 page 4 of 14 12?60?10?710(秒)．求出710秒内两人相遇的次数再加上第一次相遇，就是相遇的总次数．列（6?4）?10(秒)，（12?60?10）?（10?2）?3510，共相遇35?1?36(次)。注：解式计算为：100?决问题的关键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长．
【例 6】 A、B两地间有条公路，甲从A地出发，步行到B地，乙骑摩托车从B地出发，不停地往返于
A、B两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达B地时，乙追上甲几次？
【解析】
甲AFEB乙第一次相遇第一次追上
由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在100?80?20(分钟)内所走的路程恰等于
线段FA的长度再加上线段AE的长度，即等于甲在(80?100)分钟内所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍(?180?20)，则BF的长为AF的9倍，所以，甲从A到B，共需走80?(1?9)?800(分钟)乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个AB全程．从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个AB全程，因此，追及时间也变为200分钟(?100?2)，所以，在甲从A到B的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟．
2，二3人相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地后立即返回．已知两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是100千米，那么，A、B两地相距 千米．
【解析】 由于甲、乙的速度比是2:3，所以在相同的时间内，两人所走的路程之比也是2:3．第一次相遇
时，两人共走了一个AB的长，所以可以把AB的长看作5份，甲、乙分别走了2份和3份；第二次相遇时，甲、乙共走了三个AB，乙走了2?3?6份；第三次相遇时，甲、乙共走了五个AB，乙走了2?5?10份． 乙第二次和第三次相距10－6=4（份）所以一份距离为：100÷4=25（千米），那么A、B两地距离为：5×25＝125（千米）
【巩固】 （难度等级 ※※※）小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，
相向而行，两人第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相遇(追上也算作相遇)，则甲、乙两地的距离为 千米．
【解析】 由于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本题中追上也算相遇，所以
两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及． ①如果第二次相遇为迎面相遇，如下图所示，两人第一次在A处相遇，第二次在B处相遇．由于第一次相遇时两人合走1个全程，小王走了3千米；从第一次相遇到第二次相遇，两人合走2个全程，所以这期间小王走了3?2?6千米，由于A、B之间的距离也是3千米，所以B与乙地的距离为(6?3)?2?1.5千米，甲、乙两地的距离为6?1.5?7.5千米； 【例 7】 （难度等级 ※※※）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的
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