数列与函数、不等式综合问题选讲经典精讲
主讲教师：王春辉 数学高级教师
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题一：设曲线y＝xn1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn， 则log2013x1＋log2013x2＋…＋log2013x2012的值为________．
题二：已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0，且有f， (1?x)?f(1?x)直线g被f(x)的图像截得的弦长为417，数列?an?满足a()x?4(x?1)1?2，
* aa?gaf?a?0n?N????????n?1nnn（1）求函数f(x)的解析式； （2）求数列?an?的通项公式；
（3）设b，求数列?bn?的最值及相应的n. ?3fa?ga????nnn?1
13x?x ，数列{an}满足条件：a1≥1，an+1≥f ′ (an+1)． 3111试比较与1的大小，并说明理由． ????1?a11?a21?an题三：已知函数f(x)?[来源学&科&网Z&X&X&K]
题四：已知数列{an}的前n项和为Sn,且对于任意n?N*,总有Sn?2(an?1). (1)求数列{an}的通项公式;
(2)在an与an?1之间插入n个数,使这n?2个数组成等差数列,当公差d满足3?d?4时,求n的值并求这个等差数列所有项的和T; (3)记an?f(n),如果cn?n?f(n?log2m)(n?N*),问是否存在正实数m,使得数列{cn}是单调
递减数列?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
数列与函数、不等式综合问题选讲经典精讲
课后练习参考答案
题一：－1
详解：因为y′＝(n＋1)xn，所以在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1， 所以
0－1n
＝n＋1，所以xn＝， xn－1n＋1
所以log2013x1＋log2013x2＋…＋log2013x2012＝log2013(x1·x2·…·x2012)
1220121＝log2013(··…·)＝log2013＝－1.
2320132013
[来源:Zxxk.Com]
题二：（1）
f(x)??x?1?2;(2)
?3?an????4?189256n?1?1；
（3）当n时，bn有最小值是??32， 当n时，bn有最大值是0 . ?1详解：（1）设f(x)?a?x?1??a?0?，则直线
g(x)?4(x?1)与y?f(x)图像的两个交点为（1，0），
16??4??1，? ?aa?2?4??16? ???????417?a?0?，?. a?1，fx()?x?1???a??a?22 （2）
fa?a?1，ga?4a?1???????? nnnn2[来源:Zxxk.Com]a?a·41a??a?1?0 ? n?1nnna?14a??31a?0 ? ? a?2，?a?1，4a?3a?1?0nn?1n1nn?1n?2?????????3a?1，a?11? ??n143 数列?是首项为1，公比为的等比数列 a?1?n4 ?a?1?n?1[来源:Zxxk.Com]33???? ? a?1?，a?1?????nn????44n?1n?1[来源学科网ZXXK]
n?12n?1?n?12n????2??3???3???3??3??3a??1a?1（3）b?3?????4???3????????? ??4??nnn?1?4?????4????4????4???????3?令b?y，u???n?4?n?122?????1?1?1?3， 则y?3u?????3u??? ???????42???24?39279*，?的值分别为1，，，……，经比较?n?Nu4166416距
12最近，
∴当n时，bn有最小值是??3当n时，bn有最大值是0 .?1题三：小于1
189256
，
[来源:学。科。网]详解：∵f ′(x)=x2?1，an+1≥f ′（an+1），∴an+1≥（an+1）2?1．
[来源:Z*xx*k.Com]
∵函数g（x）=（x+1）2?1=x2+2x在区间[1，+∞）上单调递增， 于是由an≥1，得a2≥（a1+1）2?1≥22?1，由此猜想：an≥2n?1．
以下用数学归纳法证明这个猜想：①当n=1时，1=a1≥21?1=1，结论成立； ②假设n=k时结论成立，即ak≥2k?1，则当n=k+1时，ak+1≥（ak+1）2?1≥22k-1≥2k+1?1， 即n=k+1时，结论也成立．
由①、②知，对任意n∈N*，都有an≥2n?1． 即1+an≥2n，∴
[来源学科网]
由g（x）=（x+1）2?1在区间[1，+∞）上单调递增知，
11?n1?an2，
∴
1111111??????2???n?1?()n?1．
1?a11?a21?an2222?2n题四：（1）an;(2)
n?4，T?144;(3)
?2??? m??0,2???详解：(1)当n当n?1时,由已知a1?2(a1?1),得a1?2.
?2时,由Sn?2(an?1),Sn?1?2(an?1?1),两式相减得an?2an?2an?1, ?2an?1,所以{an}是首项为2,公比为2的等比数列.
?2n(n?N*)
即an所以,an(2)由题意,an?1a?an?an?(n?1)d,故d?n?1n?12n,即d?,
n?12n因为3?d?4,所以3??4,即3n?3?2n?4n?4,解得n?4,
n?11616.所以所得等差数列首项为16,公差为,共有6项 536?(16?32)所以这个等差数列所有项的和T??144
2所以,n?4,T?144
所以d?(3)由(1)知
f(n)?2n,所以cn?n?f(n?log2m)?n?2
n?log2m?n?2n?log2m2
[来源学科网]
?n?22n?log2m?n?(2log2m)2n?n?m2n
[来源:Z#xx#k.Com]
由题意,cn?1所以m2?cn,即(n?1)?m2n?2?n?m2n对任意n?N*成立,
n1*对任意n?N成立 ?1?n?1n?111*因为g(n)?1?在n?N上是单调递增的,所以g(n)的最小值为g(1)?.
n?12?所以m2?12.由m?2???0得m的取值范围是??0,2?.
???2???时,数列{cn}是单调递减数列 所以,当m?0,?2???