2010年全国统一高考学军中学模拟考试
数学（文）试卷
一．选择题（每小题5分，共50分）
1．已知集合A?xx?3,B??1,2,3,4?，则(CRA)?B =
?? （ ） （ ）
A．?4? 1,2,3,4? B．?3,4? C．?2,3,4? D．?2．i是虚数单位，若 (1?i)?z?i，则z?
11111111?i B．??i C．?i D． ?i 222222223．“a＝2”是“直线（a2－a）x?y?0和直线2x?y?1?0互相平行”的
A．?（ ）
A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+ 3b| = （ ） A．7 B．10 C．13 D．4 5.在等差数列{an}中，若a3?a5?a7?a9?a11?100,则3a9?a13的值为（ ） A．20 B．30 C．40 D．50 6. 执行下面的程序框图，若p?5，则输出的S等于 （ ）
1153163 B． C． D． 161664327.已知函数f(x)?2sin(?x??)对任意x都有
???f(?x)?f(?x),则f()等于（ ） 666A． 2或0 B. ?2或0 C. 0 D. ?2或2
8．已知直线l,m,平面?,?,且l??,m??，给出下列四个命题 ①若?//?,则l?m；②若l?m,则?//?；
③若???,则l//m；④若l//m,则???其中正确命题的个数是（ ）
A．
A．0
B．1
C．2
D．3
3x2y29．直线y?x与双曲线2?2?1(a?0,b?0)的交点在实轴上的射影恰为双曲线的焦点，则双曲线
2ab的离心率为
A．2
B．2
C．22
（ ） D．4
2x2,g(x)?ax?5?2a(a?0)，若对于任意x1?[0,1]，总存在x0?[0,1]，使得10．设f(x)?x?1 （ ） g(x0)?f(x1)成立，则a的取值范围是
A．[,4]
52B．?4,???
C．?0,?
2??5??D．?,???
?5?2??二．填空题（每小题4分，共28分）
11．下图是样本容量为200的频率分布直方图。 根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在（6，10）内的频数为 ，数据落在（2，10）内的概率约为 。.
12．如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，
俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是
?x?y?2,?13．若实数x,y满足不等式组?2x?y?4,则2x?3y的最大值是 。
?x?y?0,?14．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,则所选3人中恰有1名女生的概率
是 15．已知向量a?(2cos?,2sin?),b?(3cos?,3sin?)若向量a与b的夹角为60?，则直
11?0与圆(x?cos?)2?(y?sin?)2?的位置关系系是 2216. 某纺织厂的一个车间有n(n?7,n?N)台织布机,编号分别为1,2,3,?,n,该车间有技术工人n名,编号分别为1,2,3,?,n.定义记号aij,如果第i名工人操作了第j号织布机,此时规
线xcos??ysin??定aij=1, 否则aij=0. 则下列命题中所有正确的是 ①若第7号织布机有且只有一人操作,则a17?a27?a37???an7?1;
②若a11?a12???a1n?a21?a22???a2n?2,说明第1、2号工人各操作一台织布机； ③若a11?a12???a1n?a21?a22???a2n?2，说明第1、2号织布机有两个工人操作； ④a31?a32?a33???a3n?2，说明3号工人操作了两台织布机.
217．设f(x)上定义在R上的奇函数，且当x?0时，f(x)?x，若?x?[?2?2,2?2]， 不等式f(x?t)?2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是
三．解答题（共72分） 18．（本小题满分14分） 已知函数f(x)?2cos（1）求?的值；
（2）在锐角?ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，若f(A)??求a的值。
2?x2?cos(?x??3)的最小正周期为?，其中??0.
1,c?3,?ABC的面积为33，219．（本小题满分14分）
已知数列?an?的前n项和为Sn,a1?3,且an?1?2Sn?3；数列{bn}为等差数列，且公差d?0，
bl+b2+b3=l5．
（1）求数列?an?的通项公式；
aaa（2）若1?b1,2?b2,3?b3成等比数列，求数列{bn }的前n项和Tn．
333
20. （本小题满分14分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点.
（1）求证：CD∥面PAB；
（2）求异面直线EF与CD所成角；
（3）在AD上是否存在点Q，使QF⊥面PBC，给出理由或证明.
21．（本小题满分15分）
如图1，已知抛物线C：y?3x2(x?0)与直线x?a．直线x?b(其中0?a?b)及x轴围成的曲边梯形(阴影部分)的面积可以由公式S?b?a来计算，则如图2，过抛物线C：y?3x2(x?0)上一点A(点A在y轴和直线x=2之间)的切线为l，S2是S1是抛物线y?3x2与切线l及直线y?0所围成图形的面积，抛物线y?3x2与切线l及直线x?2所围成图形的面积，求面积S1?S2的最小值。
22. （本小题满分15分）
如图,线段AB 过x轴正半轴上一点M(m,0)(m?0),端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线.
y （1）求抛物线方程;
（2）若m为定值，求?AOB面积的最小值； A （3）若?AOB?
332?,求实数m的取值范围. 3O M B x
2010年全国统一高考学军中学模拟考试
数学（文）答案
1-10 BDACC CDCBA 11．64 0。4 12．15． 相离 16．①④ 17．[2,??)
18．（1）??2 （2）a?13 19．（1）an?3n
（2）bn?2n?1?Tn?n2?2n
20．解析(1)：∵CD∥AB，AB?面PAB，CD?面PAB，
∴CD∥面PAB (4分) (2) ∵CD∥AB，CD⊥PD ∴CD⊥面PAD，
∴CD⊥PA，又EF∥PA
∴EF与CD所成角为90° (8分) (3)当Q是AD中点时，有QF⊥面PBC.
取PC中点K，连DK，FK，则DK⊥面PBC. 又FK∥AD，FK=AD， ∴QF∥DK
∴QF⊥面PBC (12分)
评析：(3)中是探索使结论成立的充分条件，只要证明当Q为AD中点时，满足题意即可。 21．解：设切点A的坐标为(a,3a2)，
则y?|x?a?6a所以切线l的方程为：
(1分)
33? 13．20 14．
56y?3a2?6a(x?a)，令y?0
得x?
a2，令x?2得y?12a?3a， 2
33(3分)
所以S1?S2?2?0?记f(a)??1?a?3322?(12a?3a)??a?6a2?12a?8， ??2?2?4(5分)
33a?6a2?12a?8， 4332则转化为求f(a)??a?6a?12a?8在a?[0,2]时的最小值，
49292因为f?(a)??a?12a?12，由?a?12a?12?0
44(7分)
解得a?4?4?8或a?4，因为f(0)?8，f(2)?2，f???. 3?3?9 (9分)
所以当a?488，f(a)取得最小值.，因此面积S1?S2的最小值 399 22.（1）设直
线AB方程为:x?ky?m,抛物线方程为:y2?2px(p?0),
?y2?2px由 ? 得, y2?2pky?2pm?0,
?x?ky?m设A(x1,y1),B(x2,y2),则有??y1?y2?2pk,
yy??2pm?12由题意, |?2pm|?2m?2p?2, 故所求抛物线方程为:y2?2x; (2)S?AOB?11|OM||y1?y2|?m4k2?8m?m2m 22(3)cos?AOB?OA?OB|OA|?|OB|?x1x2?y1y22(x12?2x1)(x2?2x2)?1??,
22m4k2?8m3(m2?2m)?
?0?m?22 ?0?m??223?3m?20m?12?4k?0