第5课时 正弦函数的图像与性质
知识体系梳理
问题1:有向线段 正弦线 同向 一点
问题2:(3)(0,0) (,1) (π,0) (,-1) (2π,0)
问题3:R [-1,1] 2π x=+2kπ(k∈Z) x=-+2kπ(k∈Z) [-+2kπ,+2kπ](k∈Z) [+2kπ,+2kπ](k∈Z) 奇函数 x=kπ+ (kπ,0) 问题4:正弦型函数 基础学习交流
1.B 当x=时,y有最大值1,当x=时,y有最小值.
2.C ∵x∈[-,],∴由y=sin x的图像可知y∈[-,],即-≤2m+3≤,解得-≤m≤-.故m的取值范围
为[-,-].
3.(0,2) (,3) (π,2) (,1) (2π,2)
4.解:如图,观察正弦曲线可得{x|2kπ 重点难点探究 探究一:【解析】由题意知2sin x+1≥0,即sin x≥-. 在一周期[-,]内满足的角为x∈[-,π], 由此可以得到函数的定义域为[2kπ-,2kπ+π](k∈Z). 【小结】此题等价于求解不等式sin x≥-,注意数形结合,利用图像、正弦线可以快速、 准确地得到答案. 探究二:【解析】(1)设t=sin x,则有y=(t-2)2+1,t∈[-1,1], ∴当t=-1时,y=(t-2)2+1取得最大值10;当t=1时,y=(t-2)2+1取得最小值2, ∴y=(sin x-2)2+1的值域为[2,10]. (2)∵sin x∈[-1,1],且m≠0, ∴当m>0时,y=msin x+n的值域是[n-m,n+m]; 当m<0时,y=msin x+n的值域是[n+m,n-m]. 综上可知,函数y=msin x+n的值域是[n-|m|,n+|m|]. 【小结】本题用到换元法,先设t=sin x,得出t的取值范围,从而将问题转化为我们熟悉的一、二次函数的值域问题. 探究三:【解析】令u=sin x,则y=lou, ∵∈(0,1),∴y=lou是关于u的减函数, 故只需求u=sin x的单调递减区间即可, 而u=sin x的单调递减区间为{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}, ∴y=losin x的单调递增区间为[2kπ+,2kπ+](k∈Z). [问题]sin x可以小于等于0吗? [结论]sin x不可以小于等于0,因为它是对数函数的真数,故sin x>0. 于是,正确解答如下: 令u=sin x,则y=lou, ∵∈(0,1),∴y=lou是关于u的减函数, 故只需求u=sin x大于0的减区间即可, 而u=sin x的减区间为{x|2kπ+ ∴y=losin x的单调递增区间为[2kπ+,2kπ+π)(k∈Z), 【小结】解决此题的关键是理解并掌握对数函数和正弦函数的性质.对于复合函数的单调性问题,注意“同增异减”.同时,注意对数函数的真数大于0. 思维拓展应用 应用一:(1)由 sin x-1>0,得sin x>. 作如图正弦曲线y=sin x与直线y=, 可知所求定义域为(2kπ+,2kπ+)(k∈Z). (2)由 得 -≤sin x<1,作如图正弦曲线 y=sin x与直线y=-,可知所求定义域 为[2kπ-,2kπ+)∪(2kπ+,2kπ+](k∈Z). 应用二:令t=sin x,则f(t)=2(t+)2-1, 又x∈[-,], ∴t∈[-1,], ∴f(t)max=f()=1+,f(t)min=f(-)=-1, ∴f(x)=2sin2x+2sin x-的值域是[-1,1+]. 应用三:∵y=sin(-2x)=-sin 2x,∴只需求sin 2x的单调递减区间即可,即 2kπ+≤2x≤2kπ+(k∈Z), 即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z), ∴y=sin(-2x)的单调递增区间为[kπ+,kπ+](k∈Z). 基础智能检测 1.B 将(,m)代入y=sin x中,得m=sin=. 2.C 函数y=sin x图像的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z). 3.{x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z} 由+sin x≥0得sin x≥-,由正弦函数图像得 {x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z}. 4.解:设f(x)=-x,g(x)=sin x,在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图像,由图知f(x)和g(x)的图像仅有一个交点,即方程x+sin x=0仅有一个根. 全新视角拓展 C y=sin2x+sin x-1=(sin x+)2-,∵-1≤sin x≤1,∴-≤y≤1. 思维导图构建 五点法 (kπ,0)(k∈Z) x=kπ+(k∈Z) [-1,1] [-+2kπ,+2kπ](k∈Z) [+2kπ,+2kπ](k∈Z) 奇函数