原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动。在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动。数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米。
滑块 H （Q） 滑道 Q? H Q Q H l l l
P D P P P? 连杆
O O O （1）
（3） （2） 图7
图6 解决问题： （1）点Q与点O间的最小距离是 分米；点Q与点O间的最大距离是 分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 分米。
（2）如图6（3），小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的。”你认为他的判断对吗？为什么？
（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小。”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是 分米；
②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数。
【析解】本题以机械装置为模型考查其中蕴含的数学知识，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。（1）观察机械模型的工作原理图（2）可知，当Q点滑动到H点时，点Q与点O间的距离最小，为OH的长度；当Q点滑动到Q、P、O在同一条直线上时，点Q与点O间的距离最大，为OP+PQ。当点Q移动到最右端时，△OHQ为直角三角形，此时，HQ=OQ2-OH2，同理可知点Q移动到最左端时离H点的距离也等于点Q移动到最右端时离H点的距离。（2）当点Q滑动到点H的位置时，由于OQ2≠PQ2+OP2，所以PQ与⊙O不相切。（3）①观察图6（2）可发现当PQ⊥l时，点P到l距离最大是3；②如图7，在Rt△OPD中，OP=2，OD=OH-HD=1，所以∠DOP=600，从而得到∠POP/=1200，这就是扇形面积最大时圆心角的度数。作为补充我们还可以让学生求出这个扇形的最大面积。
5、加强小课题研究 对于课题学习，《标准》指出：要经历“问题情境—建立模型—求解—解释与应用”的基本过程。由于研究型课题来自于课本知识与现实生活的结合，因此，进行课题研究本身就是对所学知识的实际应用。另外，进行课题研究对于培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力有积极的训练价值。开展小课题研究的教学，既是对我们教师教学观念和教学能力的挑战，也是培养学生创造精神和实践能力的重要途径。通过课题研究活动，能引发学生学习数学的兴趣，培养学生在开放性环境中搜集和整理信息的能力；能发展学生的创新精神，获得亲自参与研究的切身体验，树立战胜困难、坚韧不拔的顽强毅力；还能在研究活动中学会沟通与合作，锻炼学生的表达、交流等社交能力，促进学生的全面发展。在研究活动中，能让学生逐步学会从实际出发，通过认真踏实的研究、准确地分析和计算
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获得结论，并懂得尊重他人的成果，从而培养学生实事求是、理论与实践相结合的科学态度和科学道德。通过活动，还能发展学生对社会的责任心和使命感，激活各种学习中的知识储存，尝试相关知识的综合运用。这对以培养学生的创新精神和实践能力为重点的素质教育具有重要的积极意义。
案例6、洗衣服的学问。
大家知道，要洗一件衣服，先要用少许水和洗衣粉，把衣服充分浸泡、揉搓，以便使污物充分溶解或飘浮于水中。将衣服“拧干”后，它上面肯定还带有一定数量的含污物的水。设衣服上残存的污物为m0克（当然包括残留的洗衣粉），残存水重w千克。另外，我们还有一桶清水，设为A千克。
我们这里有两种洗法：一是直接将衣服放入这一桶清水中洗；二是将这A千克水分成相同的两份，先在其中一份中洗涤，然后在另一份中清一下。请问哪种洗法效果好？
同学们凭经验都知道第二种洗法效果更好，但如何从数学角度去解释这个问题呢？ 【析解】第一种：直接把带有m0克污物和w千克水的衣服放到A千克水中，经过充分搓洗，这m0克污物溶于（w+A）千克的水中。此时，把污水倒掉，把衣服拧干，衣服上一定还残留一定的污物m克（注意m一定小于m0），残存的水重仍为w千克。我们把污物看做溶质，根据污物的浓度可以得到：
衣服上残存的污物量m拧干后残存水量w即，
?原来的残存物污量m0
w?A衣服上残存的污物量m拧“干”后残存w， ?原来的残存物污量m0w?Amww?0。?????（1） w?Aw?AA千克，将衣服先后经过2次洗涤，衣服上2所以有，m?m0?第二种：
设把这A千克水平均分成2份，每份都是
还剩多少污物？
第一次，把带有m0克污物和w千克水的衣服放到第一份清水中，经过充分搓洗，这
Am0克污物溶于（w+）千克的水中。此时，把污水倒掉，把衣服拧干，衣服上一定还残
2留一定的污物m1克（注意m1一定小于m0），残存的水重仍为w千克。我们把污物看做溶质，根据污物的浓度可以得到：
衣服上残存的污物量m1原来的残存物污量m0?，
A拧干后残存水量ww?2即，
衣服上残存的污物量m1拧“干”后残存水量w?，
A原来的残存物污量m0w?2 7
所以有，m1?m0?ww?A2?2m0w。?????（2）
2w?A类似的分析可得，第二次把带有m1克污物和w千克水的衣服放到第二份清水中，洗涤拧干后的残存污物量为：
m2?m12m1w2w2??（）m0。?????（3） A2w?A2w?A(1?)2w现在的问题是怎样比较m与m2的大小。 事实上，根据（1）有，因为
mw2wm=，根据（3）有，2=（）2，
2w?Am0w?Am02w2w2w2ww＜，所以（）2＜（）2=（）2，
2w?A2w?2A2w?A2w?2Aw?Aw2ww又因为＜1，所以（）2＜，
w?A2w?Aw?A即
m2m＜，所以m2＜m。 m0m0这就证明了第二种洗法效果好一些。
事实上，这个问题可以更引申一步，如果把洗衣过程分为n步（n给定）则怎样分水才能使洗涤效果最佳？
数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，已成为现代科技工作者必备的重要能力之一。数学建模教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程，我们广大的教师应不断研究新情况、新问题，努力探索培养学生建模能力的教学方法，做到通过建模教学，提高他们学习数学的兴趣，培养其应用意识和创造精神，从而形成遇到问题用数学的眼光去观察和思考的良好习惯。
主要参考文献
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