山东大学自学考试毕业设计（本科）
2定重装载液压系统数学模型的研究
2.1管路液压传动系统概述
管路液压是传动和控制工程中用以传输流体介质、传递流体动力和流体信息的不可或缺的元件，其动态性能直接关系到系统的精确性、稳定性。液压管路本质上属于一个多自由度的分布参数系统，描述其特性的准确模型是目前普遍认可的与频率相关的耗散摩擦模型，但由于该模型中含有复杂的贝塞尔函数和双曲函数，给模型的解析和应用带来极大的不便，因此在分析液压系统动态特性时，一般都忽略管路效应或采用较粗糙的近似方法。
常用的描述流体管路动态特性的方法主要有二种：分布参数模型和集中参数模型。 (1)分布参数模型就是将系统中较长的液压管路看成是有液容、液感和液阻组成的网络，这种管路模型被认为是流体管路的精确模型，是处理管路的常用方法。
(2)集中参数模型认为管路的特性包含粘性剪切引起的液阻、流体可压缩性或柔性引起的液容和流体加速时惯性作用引起的液感，管路的动态模型可看作是这些理想元件（液阻、液容和液感）的一种纯集中参数的组合。 2.2管路分布参数数学模型
液压管路模型示意如图2-1所示。
图2.1液压管路模型示意图
图2.1中，P1 、P2 、Q1 、Q2分别为管路入口、出口的压力和流量。
通过与电传输线进行类比，可以得到流体管路四端口网络模型的一般表现形式如式（2-1）和（2-2）所示：
（2-1）
（2-2）
式中：Γ——管路的传播算子；Z——管路的特征阻抗。 对于流体，若按分布参数模型考虑，则有：
（2-3）
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（2-4）
（2-5）
式中：DvL/(ar2)——无因次耗散数； Z0=ρa/πr2——阻抗常数； L——管长，m；
v——运动粘度系数，m2/s； a——音速，m/s； ρ——流体密度，kg/m3； r——管内半径，m；
s*=s(r2 /v)——无量纲频率；
J0、J1——零阶和一阶第一类Bessel函数。
根据式（2-1）和（2-2）可知，其中含有复杂的Bessel函数比N(s*)以及双曲函数coshΓ、sinhГ，使得流体管路分布参数模型求解困难。因此，人们一直试图在满足一定精度要求的前提下，采用各种近似方法对以上各式进行简化计算。
由式（3.3）和（3.4）可知，传播算子Γ和特性阻抗CZ是由()Ns表示的函数，Hullender等人定义了一个Bessel函数比的函数()Bs，并通过Bessel函数的零值点将其展开成无限乘积的形式。
（2-6）
（2-7）
式中：ia0+、ia1+——零阶和一阶Bessel函数的零值点。
作为一种近似处理，取式（3.7）的前m项作为函数B(s*)的近似。香川等人用逐次逼近的方法导出了N(s*)的近似表达式，并进行拉氏变换得：
（2-8）
在式（2-8）中，mi和ni取前10项时可以非常精确地逼近原函数。将式（2-8）代入式（2-3）和（2-4），则可以得到传播算子Γ和特性阻抗CZ的近似式，这些近似式适用于低频到高频相当宽的频率范围。mi和ni的取值如表2-1所示。
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表2-1 mi和ni的取值表
i 1 mi 1.0 744 2 725 3 064 4 861 5 788
2.3管路集中参数模型数学模型
传统的管路分段集中参数模型是把管路划分成若干组液感、液容和液阻的串联组合。其中质量块m相当于一段管路中液体的液感，反映的是流体的惯性；v相当于一段管路内流体的平均流速；弹簧刚度k的倒数相当于管路中液体的液容C，反映流体的压缩性对系统的影响；静摩擦阻力RS相当于管壁对管内流动液体的粘度阻力，反映流体流动性中粘度的影响。其等效的机械振动模型如图2-2所示：
6.78.60 3.92626 157010 590 2.20424 536.9 642 101.16 1.16033 187.8 541 59.153 348372.87 612 34.42.5 1182ni 26.3i 6 761 20.01.1 4008mi 11.6.13 1360ni 4618
图2-2管路等效机械振动模型图
在压力波的传播过程中，具有不同速度的两个相邻分段流体相互作用，进行动量交换，并产生能量损失。传统的分段集中参数模型并没有考虑这部分能量损失，哈尔滨工业大学李洪人等人为了考虑相邻两个分段流体相互作用引起的能量损失，在传统分段集中参数模型中引入动摩擦液阻，从而建立新的分段集中参数模型，新模型的等效机械振动模型如图3.3所示。
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图2-2中的Rd表示与两个相邻分段流体相互作用有关的动摩擦液阻，表征液体中微团之间互相作用而产生的能量损失，它是由管内流体脉动引起的。新模型中的液容C、液感L、静摩擦液阻RS与传统分段集中参数模型中的相同。由于流体管路的动态方程与电路中的动态方程又惊人的相似之处，把压力与流量等效为电路中的电压与电流，用液阻R来描述液体在管路中流动时受到的阻力，用液感L来描述液体流动时的惯性，用液容C来描述液体的压缩与管路的变形。流体管路系统可以用一等效电路来替换，流体的压力P、流量Q、液阻R、液感L和液容C完全可以与电路中的电压U、电流I、电阻R、电感L和电容C相互更换，则管路两端压力与流量的关系可近似用图2-3所示的电路图来表示。
图2-3管路的等效电路图
液容产生的压差：
液感产生的压差：
（2-9）
液阻产生的压差：
（2-10）
（2-11）
钢管管路参数的确定 (1)液感L的确定
（2-12）
式中：ρ——管内流体的密度，kg/m3； l——管路长度，m； r——管内半径，m。 (2)液容C的确定
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（2-13）
式中：E——液压油弹性模量，N/m2。 (3)液阻的确定
管路液阻R包括稳态摩擦阻力Rs和动态摩擦阻力Rd，其表达式可通过方程R=Rs+Rd表示。其R表示。其中稳态摩擦阻力Rs与流态有关，表征流量稳定时管壁对流动液体的粘性阻尼作用。
①稳态摩擦阻力的确定
管路流体流动的实际过程是复杂的，层流与紊流时稳态摩擦阻力对系统的影响不同，可以根据雷诺数来判断何时为层流何时为紊流，从而建立通用模型来表征实际系统。对于圆管流动，一般规定雷诺数Re为2320来判别，大于为紊流，小于为层流。圆管流动时：
（2-14）
式中：μ——流体的运动粘度，m2/s； d——圆管内径，m； v——流体流速，m/s。
稳态摩擦阻力表示流动液体的粘性作用，在层流状态下：
（2-15）
（2-16）
式中：
Pl——管路静态摩擦阻力产生的压力损失，N； d——管路内径，m；
ρ——管内流体的密度，kg/m； u——流体运动粘度，m2/s；V q——管内流体流量，m3/s。
紊流状态下，稳态摩擦阻力表达式为：
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（2-17）
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