复习1：数理逻辑部分
一、 主要内容
(一) 命题逻辑基本概念 主要内容
1. 命题与联结词 命题与真值
命题：判断结果惟一的陈述句 命题的真值：判断的结果 真值的取值：真与假 真命题与假命题
例1 下列句子中那些是命题？ (1) 是有理数（假命题）. (2) 2 + 5 = 7（真命题）.
(3) 2050年元旦下大雪.（命题，但真值现在不知道） 命题分类：简单命题（也称原子命题）与复合命题 简单命题符号化
用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i≥1)表示简单命题 用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令
p： 是有理数，则 p 的真值为0， q：2 + 5 = 7，则 q 的真值为1
定义1.1 设 p为命题，复合命题“非p”(或“p的否定”)称为p的否定式，记作?p，符号?称作否定联结词. 规定?p 为真当且仅当p为假.
定义1.2 设p,q为两个命题，复合命题“p并且q”(或“p与 q”)称为p与q的合取式，记作p∧q，∧称作合取联结词. 规定p∧q为真当且仅当p与q同时为真.
定义1.3 设p, q为两个命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q，∨称作析取联结词. 规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假. 例2 将下列命题符号化. (1) 吴颖既用功又聪明. (2) 吴颖不仅用功而且聪明. (3) 吴颖虽然聪明，但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解 令p:吴颖用功, q:吴颖聪明 (1) p?q (2) p?q (3) ?p?q
(4) 设p:张辉是三好生, q:王丽是三好生
p?q
(5) p:张辉与王丽是同学
(1)—(3) 说明描述合取式的灵活性与多样性 (4)—(5) 要求分清 “与” 所联结的成分. 例3 将下列命题符号化 (1) 2 或 4 是素数. (2) 2 或 3 是素数. (3) 4 或 6 是素数.
(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王小红生于 1975 年或 1976 年
解 (1) 令p:2是素数, q:4是素数, p?q (2) 令p:2是素数, q:3是素数, p?q (3) 令p:4是素数, q:6是素数, p?q
(4) 令p:小元元拿一个苹果, q:小元元拿一个梨 (p??q)?(?p?q)
(5) p:王小红生于 1975 年, q:王小红生于1976 年, (p??q)?(?p?q) 或 p?q (1)—(3) 为相容或
(4)—(5) 为排斥或, 符号化时(5)可有两种形式，而(4)则不能
定义1.4 设p, q为两个命题，复合命题“如果p, 则q”称作p与q的蕴涵式，记作p?q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件，?称作蕴涵联结词. 规定：p?q为假当且仅当p为真q为假.
(1) p?q 的逻辑关系：q为 p 的必要条件 (2) “如果 p, 则 q” 有很多不同的表述方法： 若p，就q 只要p，就q p仅当q 只有q 才p
除非q, 才p 或 除非q，否则非p，…． (3) 当 p 为假时，p?q恒为真，称为空证明 (4) 常出现的错误：不分充分与必要条件
例4 设 p：天冷，q：小王穿羽绒服，将下列命题符号化 (1) 只要天冷，小王就穿羽绒服.（p?q） (2) 因为天冷，所以小王穿羽绒服（p?q）. (3) 若小王不穿羽绒服，则天不冷.（p?q） (4) 只有天冷，小王才穿羽绒服.（q?p） (5) 除非天冷，小王才穿羽绒服.（q?p） (6) 除非小王穿羽绒服，否则天不冷（p?q）. (7) 如果天不冷，则小王不穿羽绒服.（q?p） (8) 小王穿羽绒服仅当天冷的时候.（q?p） 注意： p?q 与 ?q??p 等值（真值相同）
定义1.5 设 p, q为两个命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p?q，?称作等价联结词. 规定p?q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.
p?q 的逻辑关系：p与q互为充分必要条件 例5 求下列复合命题的真值
(1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. （1） (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数.（0）
(3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起.（1） (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲.（0）
(5) 函数 f (x) 在 x0 可导的充要条件是 它在 x0 连续.（0） 小节
本小节中p, q, r, ? 均表示命题. 联结词集为{?, ?, ?, ?, ?}，?p, p?q, p?q, p?q, p?q为基本复合命题. 其中要特别注意理解p?q的涵义. 反复使用{?, ?, ?, ?, ?}中的联结词组成更为复杂的复合命题.
设 p: 是无理数，q: 3是奇数， r: 苹果是方的， s: 太阳绕地球转
则复合命题 (p?q) ? ((r??s) ??p) 是假命题.
联结词的运算顺序：?, ?, ?, ?, ?, 同级按先出现者先运算.
2.命题公式及其赋值 命题变项与合式公式 命题变项 合式公式
合式公式的层次 公式的赋值 公式赋值 公式类型 真值表 命题常项
命题变项（命题变元）
常项与变项均用 p, q, r, ?, pi, qi, ri, ?, 等表示. 定义1.6 合式公式（简称公式）的递归定义：
(1) 单个命题变项和命题常项是合式公式, 称作原子命题公式 (2) 若A是合式公式，则 (?A)也是
(3) 若A, B是合式公式，则(A?B), (A?B), (A?B), (A?B)也是 (4) 只有有限次地应用(1)—(3) 形成的符号串才是合式公式 几点说明：
归纳或递归定义, 元语言与对象语言, 外层括号可以省去 定义1.7
(1) 若公式A是单个命题变项，则称A为0层公式. (2) 称 A 是 n+1(n≥0) 层公式是指下面情况之一： (a) A=?B, B 是 n 层公式；
(b) A=B?C, 其中B,C 分别为 i 层和 j 层公式， 且 n=max(i,j)；
(c) A=B?C, 其中 B,C 的层次及 n 同(b)；
(d) A=B?C, 其中B,C 的层次及 n 同(b)； (e) A=B?C, 其中B,C 的层次及 n 同(b). (3) 若公式A的层次为k, 则称A为k层公式.
例如 公式 A=p, B=?p, C=?p?q, D=?(p?q)?r, E=((?p?q) ?r) ?(?r?s)
分别为0层，1层，2层，3层，4层公式.
定义1.8 设p1, p2, … , pn是出现在公式A中的全部命题变项, 给p1, p2, … , pn各指定一个真值, 称为对A的一个赋值或解释. 若使A为1, 则称这组值为A的成真赋值; 若使A为0, 则称这组 值为A的成假赋值. 几点说明：
1) A中仅出现 p1, p2, … , pn，给A赋值?=?1?2…?n是指 p1=?1, p2=?2, …, pn=?n, ?i=0或1, ?i之间不加标点符号 2) A中仅出现 p, q, r, …, 给A赋值?1?2?3…是指 p=?1, q=?2 , r=?3 …
3) 含n个命题变项的公式有2n个赋值.
如 000, 010, 101, 110是?(p?q)?r的成真赋值 001, 011, 100, 111是成假赋值.
定义1.9 将命题公式A在所有赋值下取值的情况列成表, 称作 A的真值表.
构造真值表的步骤:
(1) 找出公式中所含的全部命题变项p1, p2, ? , pn(若无下角标 则按字母顺序排列), 列出2n个全部赋值, 从00?0开始, 按 二进制加法, 每次加1, 直至11?1为止. (2) 按从低到高的顺序写出公式的各个层次.
(3) 对每个赋值依次计算各层次的真值, 直到最后计算出公式 的真值为止.
例6 写出下列公式的真值表, 并求它们的成真赋值和成假 赋值:
(1) (p?q) ??r (2) (q?p) ?q?p (3) ? (?p?q) ?q 解：(1) A = (p?q) ??r p q r 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 p?q 0 0 1 1 1 1 1 1 ?r 1 0 1 0 1 0 1 0 (p?q)??r 1 1 1 0 1 0 1 0 成真赋值:000,001,010,100,110; 成假赋值:011,101,111
(2) B＝(q?p)?q?p q?p p q 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 (q?p)?q (q?p)?q?p 成真赋值:00,01,10,11; 无成假赋值 (3) C＝? (?p?q)?q的真值表 p q ?p 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 ?p?q 1 1 0 1 (?p?q) 0 0 1 0 ? (?p?q)?q 0 0 0 0 成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值 定义1.10
(1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
由例1可知, (p?q) ??r, (q?p) ?q?p, ? (?p?q) ?q 分别为非重言式的可满足式, 重言式, 矛盾式 注意：重言式是可满足式，但反之不真.（即可满足式包括重言式和非重言式） 真值表的用途:
求出公式的全部成真赋值与成假赋值, 判断公式的类型
(二) 命题逻辑等值演算 主要内容
1. 等值式与基本的等值式
定义2.1 若等价式A?B是重言式，则称A与B等值，记作A?B，并称A?B是等值式
几点说明：
? 定义中，A, B, ?均为元语言符号 ? A或B中可能有哑元出现.
例如 (p?q) ? ((?p?q)?(?r?r)) r为左边公式的哑元. ? 用真值表可检查两个公式是否等值 请验证：
p?(q?r) ? (p?q) ?r
p?(q?r) 不与 (p?q) ?r 等值 例1 判断下列各组公式是否等值: (1) p?(q?r) 与 (p?q) ?r