?a2＋b2＝1，所以?61
?a2＋b2＝1，
42
?a2＝8，解得?11
?b2＝4，
11
??a2＝8，x2y2所以?椭圆E的方程为8＋4＝1.
??b2＝4，
→(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥y＝kx＋m，??→
OB，设该圆的切线方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，解方程组?x2y2得x2＋
＋＝1??842(kx＋m)2＝8，
即(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，
则Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4)>0，即8k2－m2＋4>0.
??故?2m2－8
x1x2＝，??1＋2k2
＝＝
4kmx1＋x2＝－，
1＋2k2
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2 k2?2m2－8?4k2m2
－＋m2
1＋2k21＋2k2m2－8k2
. 1＋2k2
→→
要使OA⊥OB，需使x1x2＋y1y2＝0， 即
2m2－8m2－8k2
＋＝0，
1＋2k21＋2k2
所以3m2－8k2－8＝0， 3m2－8所以k2＝8≥0.
??m2>2，8
又8k2－m2＋4>0，所以?所以m2≥3，
?3m2≥8，?
2626
即m≥3或m≤－3，
因为直线y＝kx＋m为圆心在原点的圆的一条切线，
|m|
所以圆的半径为r＝，
1＋k2
- 6 -
m2r2＝＝1＋k2
m2826
＝3，r＝3，
3m2－81＋8
8
所求的圆为x2＋y2＝3，
2626
此时圆的切线y＝kx＋m都满足m≥3或m≤－3，
26x2y22626
而当切线的斜率不存在时切线为x＝±3与椭圆8＋4＝1的两个交点为(3，±3)或(－26268→→
，±)满足OA⊥OB，综上，存在圆心在原点的圆x2＋y2＝333，使得该圆的任意一条切线→→与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB.
x2y2
4．(2014·重庆)如图，设椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点D在椭圆上，F1F22DF1⊥F1F2，DF1＝22，△DF1F2的面积为2.
(1)求该椭圆的标准方程．
(2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)设F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2. F1F2F1F22由DF1＝22，得DF1＝＝2c，
22
122
从而S△DF1F2＝2DF1·F1F2＝2c2＝2，故c＝1， 2从而DF1＝2. 9
由DF1⊥F1F2，得DF22＝DF21＋F1F22＝2， 32因此DF2＝2. 所以2a＝DF1＋DF2＝22， 故a＝2，b2＝a2－c2＝1.
x2
因此，所求椭圆的标准方程为2＋y2＝1.
x2
(2)如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆2＋y2＝1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y1>0，y2>0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.
- 7 -
由圆和椭圆的对称性，易知，x2＝－x1，y1＝y2. 由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，
→→
所以F1P1＝(x1＋1，y1)，F2P2＝(－x1－1，y1)， 再由F1P1⊥F2P2，得－(x1＋1)2＋y21＝0.
x21
由椭圆方程得1－2＝(x1＋1)2，即3x21＋4x1＝0， 4
解得x1＝－3或x1＝0.
当x1＝0时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在．
4
当x1＝－3时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C. 设C(0，y0)，
y1－y0y1
由CP1⊥F1P1，得x1·＝－1.
x1＋115
而求得y1＝3，故y0＝3. 圆C的半径CP1＝
41542?－3?2＋?3－3?2＝3.
综上，存在满足题设条件的圆， 532
其方程为x2＋(y－3)2＝9.
5．(2014·江西)如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)． (1)证明：动点D在定直线上；
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：MN22－MN21为定值，并求此定值． (1)证明 依题意可设AB方程为y＝kx＋2， 代入x2＝4y，
得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8.
- 8 -
y1
直线AO的方程为y＝x1x； BD的方程为x＝x2.
x＝x2，??
解得交点D的坐标为?y1x2
y＝，?x1?注意到x1x2＝－8及x21＝4y1， y1x1x2－8y1
则有y＝x21＝4y1＝－2.
因此动点D在定直线y＝－2上(x≠0)．
(2)解 依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)， 即x2－4ax－4b＝0.
由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化简整理得b＝－a2. 故切线l的方程可写为y＝ax－a2.
分别令y＝2，y＝－2得N1，N2的坐标为 22
N1(a＋a,2)，N2(－a＋a，－2)，
22
则MN22－MN21＝(a－a)2＋42－(a＋a)2＝8，
即MN22－MN21为定值8. 6．(2014·福建)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2. (1)求曲线Γ的方程．
(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论． 解 方法一 (1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点， 依题意，点S到F(0,1)的距离与它到直线y＝－1的距离相等，所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点、直线y＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x2＝4y. (2)当点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．证明如下：
1
由(1)知抛物线Γ的方程为y＝4x2， 1
设P(x0，y0)(x0≠0)，则y0＝4x20， 1
由y′＝2x，得切线l的斜率 1
k＝y′|x＝x0＝2x0，
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1
所以切线l的方程为y－y0＝2x0(x－x0)， 11即y＝2x0x－4x20.
11??y＝2x0x－4x20，1由?得A(2x0,0)． ??y＝0，11??y＝2x0x－4x20，16由?得M(2x0＋x0，3)． ??y＝3，13
又N(0,3)，所以圆心C(4x0＋x0，3)， 113
半径r＝2MN＝|4x0＋x0|， AB＝AC2－r2 ＝
11313
[2x0－?4x0＋x0?]2＋32－?4x0＋x0?2＝6.
所以点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变． 方法二 (1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，
则|y－(－3)|－?x－0?2＋?y－1?2＝2，
依题意，点S(x，y)只能在直线y＝－3的上方，所以y>－3，所以?x－0?2＋?y－1?2＝y＋1， 化简，得曲线Γ的方程为x2＝4y. (2)同方法一．
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