中学数理化 www.shulihua.net 日照实验高中高一年级数学竞赛试题
2005.7.6
学生注意：1、本试卷共有三大题（15个小题），全卷满分150分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。
3、解题书写不要超过装订线，班级、姓名写在左上角。 4、不能使用计算器。
一、选择题（本题共有6个小题，每题均给出（A）（B）（C）（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。）
1.设有三个函数，已知第一个函数是y=f(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于直线x+y=0对称，则第三个函数的解析式为 (A) y=f(?x??????????? y???? f??? x???????? C??? y=f(x)??????? D??? y??? f?? x???
??在1到250的自然数中，能被2、3、5、7中任何一个整除的整数个数为 (A) 191 (B) 192 (C) 193 (D) 194
3.已知x1, x2是关于x的方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个实根，那么x12+x22的最大值为 (A) 19 (B) 17 (C)
(D) 18
4.已知f(x)=
+f(
)+f(
，则和f(
)+…+f(
)+f(
)+…+f(
)+f(
)+f(
)+…+f(
)+…
)的值等于
(A) 10000 (B) 5000 (C) 1000 (D) 100 5.已知f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x)
(A) 在区间(-1,0)上是减函数 (B) 在区间(0,1)上是减函数 (C) 在区间(-2,0)上是增函数 (D) 在区间(0,2)上是增函数
6.函数f(x)=
(a>0,b>0,a≠b) 在R上的单调性为
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中学数理化 www.shulihua.net (A) 增函数 (B) 减函数 (C) 不增不减 (D) 与a、b无关 二、填空题 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
1.已知函数y=loga|x2-2|在区间(
为 ； 2.函数y=
3. 已知f(x)=ax5+b
,0)上是减函数，那么它的单调递增区间
在2≤x≤4范围内的最大值和最小值的和为 ；
+4，且a,b为实数，f(lglog310)=5,则f(lglg3)的值为 ；
4. 函数y=logax在x∈[2,+∞)上恒有|y|>1，则a的取值范围是 ； 5. 用[t]表示不超过t的最大整数，当n∈N+ 时，[log2(n+1-
)]的值的集合为 ；
)]+[log2(n+1+
6.设f(x)=
是 ；
，其中a∈R，如果当x∈(-∞,1]时，f(x)有意义，则a的取值范围
三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 1.已知函数f(x)=loga[(m2-1)x2+(m+1)x+1] ①若f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围； ②若f(x)的值域为R，求实数m的取值范围。
2.设函数f(x)的定义域为R，对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，又当x>0时，f(x)<0， 且f(2)=-1。
①求证：f(x)为奇函数；
②试问函数f(x)在区间[-2002,2002]上是否存在最大值和最小值？若存在，求出最大值和最
小值；如果没有，请说明理由。 3.已知函数f(x)定义在非负整数集上，且对于任意正整数x，都有 f(x)=f(x???? f?? x???? 若
f(5)=2003，求f(2003)
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中学数理化 www.shulihua.net 附加题：
f(n)定义在N上，f(n)的取值为整数，且是严格单调递增的，当m与n互质时，有
f(mn)=f(m)f(n)， 若f(19)=19，求f(f(19)f(98))的值。
日照实验高中高一年级数学竞赛试题
参考答案
一、选择题
1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．A 二、填空题 1.(-∞,- 三、解答题
1．解：① 依题意得
)和[0,
) 2.18 3.3 4.(
,1)∪(1,2) 5.{-1} 6.(
+∞)
(m2-1)x2+(m+1)x+1>0对一切x∈R恒成立
m=-1或
m=-1或m<-1或m>
m≤-1或m>
∴ 实数m的取值范围为(-∞,-1]∪(
,+∞) ②依题意得
(m2-1)x2+(m+1)x+1能取到(0,+∞)上的任何值
m=1或
m=1或1 1≤m≤ ∴ 实数m的取值范围为[1, ] 2．解：①令x=y=0，则 f(0+0)=f(0)+f(0) 再令y=-x，则 f(x-x)=f(x)+f(-x) f(0)=0 f(-x)=-f(x) 中学数理化 www.shulihua.net 数理化新课标资料专业网站 中学数理化 www.shulihua.net ∴f(x)为奇函数 ②∵f(x+y)=f(x)+f(y) f(x)为奇函数 ∴ f(x-y)=f(x)+f(-y) f(x-y)=f(x)-f(y) 设x1,x2∈R，且x1 ∴ f(x)在(-∞,+∞)上是减函数 ∴ f(x)在[-2002,2002]上有最大值和最小值 [f(x)]min=f(2002)=f(2000)+f(2)=f(2)+f(2)+…+f(2)=1001f(2)= -1001 [f(x)]max=f(-2002)= -f(2002)=1001 3．解：∵对于任意正整数x，有 f(x)=f(x-1)+f(x+1) ∴f(x+1)=f(x)+f(x+2) f(x+2)=f(x+1)+f(x+3) 将上面三式相加，得 f(x+3) = - f(x) ∴f(x+6)=f[(x+3)+3]= -f(x+3)=f(x) ∴f(x)是以6为周期的周期函数 ∴f(2003)=f(6×333+5)=f(5)=2003 附加题： 解：∵f(19)=f(1×19)=f(1)f(19) f(19)≠0 中学数理化 www.shulihua.net 数理化新课标资料专业网站 中学数理化 www.shulihua.net ∴f(1)=1 ∵f(n)是严格单调递增的 ∴f(1) ∴f(n)=n (1≤n≤19,n∈N) ∵f(95)=f(5×19)=f(5)f(19)=5×19=95 f(99)=f(9×11)=f(9)f(11)=9×11=99 ∴f(96)=96 f(97)=97 f(98)=98 ∴f(f(19)f(98))=f(19)f(98)=19×98=1862 中学数理化 www.shulihua.net 数理化新课标资料专业网站