27．如图所示，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，连接BD、CE．
（1）求证：BD=CE；
（2）观察图形，猜想BD与CE之间的位置关系，并证明你的猜想．(12分)
证明:(1) ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE＝90, ――（1分） ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
即∠BAD=∠CAE ――――（2分） 在△ABD和△ACE中：
0
CDGFAB?AB?AC? ??BAD?CAE
?AD?AE? ∴△ABD≌△ACE(SAS) ――――――（5分） ∴BD=CE ――――――(6分) (2)BD与CE相互垂直。 ――――――（7分）
设AC交BD于点F，EC交BD于点G,
E由(1)证得：∠ABD=∠ACE, ――――――（8分） 又∵∠AFB=∠GFC ――――――（9分） 在△ABF和△GCF中： ∠BAC=180°-∠ABD-∠AFB,
∠CGF=180°-∠ACE-∠GFC ――――――（11分） ∴∠CGF=∠BAC=90°
∴BD⊥CE. ――――――（12分）
28．如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。
⑴在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N。①证明DM＝DN；②在这一过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请求出四边形DMBN的面积。
⑵继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
- 11 - 参考答案
⑶继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？不用证明。（14分）
MADNCBADNCADEF EB ME图2 FM图1
BNC F第25题图
图3
⑴①证明:连结DB. 在Rt△ABC中，AB＝BC,
∴∠A=∠C=45° ∵AD＝DC.
∴DB＝DC＝AD,∠BDC＝90°， ――――――（1分） 方法一:∴∠ABD＝∠C＝45°.
∵∠MDB＋∠BDN＝∠CDN＋∠BDN＝90°,
∴∠MDB＝∠NDC, ――――――（2分） 在△BMD与△CND中：
???MDB??NDC?BD?DC ???ABD??C∴△BMD≌△CND(ASA), ∴DM＝DN.――――――(4分) 方法二:∴∠A＝∠DBN＝45°.
∵∠ADM＋∠MDB＝∠BDN＋∠MDB＝90°,
∴∠ADM＝∠BDN, ――――――(2分) 在△ADM≌△BDN中：
???A??DBN?AD?BD ???ADM??BDN∴△ADM≌△BDN(ASA),
∴DM＝DN. ――――――(4分) ②由①知△BMD≌△CND,∴S?BMD?S?CND,--------（5分）
- 12 - 参考答案
∴S四边形DMBN?S?DBN?S?DMB?S?DBN?S?DNC?S?DBC?11S?ABC?――――――(8分) 24⑵DM＝DN仍然成立, ――――――(9分) 证明:连结DB.在Rt△ABC中，AB＝BC,AD＝DC. ∴DB＝DC,∠BDC＝90°， ∴∠DCB＝∠DBC＝45°, ∴∠DBM＝∠DCN＝135°.
∵∠NDC＋∠CDM＝∠BDM＋∠CDM＝90°,
∴∠CDN＝∠BDM, ――――――(10分) 在△BMD≌△CND中：
???DBM??DCN?DB?DC ???CDN??BDM∴△BMD≌△CND(ASA)
∴DM＝DN. ――――――(12分) ⑶. 成立 ――――――(14分)
命题人：林忠理
审题人：游兴政
- 13 - 参考答案