x1x12x1所以切线PA的方程为y?y1??x?x1?,即y?x??y1,即x1x?2y?2y1?0
222同理可得切线PB的方程为x2x?2y?2y2?0
因为切线PA,PB均过点P?x0,y0?,所以x1x0?2y0?2y1?0,x2x0?2y0?2y2?0 所以?x1,y1?,?x2,y2?为方程x0x?2y0?2y?0的两组解. 所以直线AB的方程为x0x?2y?2y0?0.
(Ⅲ) 由抛物线定义可知AF?y1?1,BF?y2?1, 所以AF?BF??y1?1??y2?1??y1y2??y1?y2??1
?x0x?2y?2y0?0222联立方程?2,消去x整理得y??2y0?x0?y?y0?0
?x?4y由一元二次方程根与系数的关系可得y1?y2?x0?2y0,y1y2?y0 所以AF?BF?y1y2??y1?y2??1?y0?x0?2y0?1
2222又点P?x0,y0?在直线l上,所以x0?y0?2,
1?9?222所以y0?x0?2y0?1?2y0?2y0?5?2?y0???
2?2?所以当y0??219时, AF?BF取得最小值,且最小值为. 2243．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））平面直角坐标系
xOy中,过椭圆
x2y2M:2?2?1(a?b?0)的右焦点F作直x?y?3?0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的
ab斜率为
1. 2(Ⅰ)求M的方程;
(Ⅱ)C,D为M上的两点,若四边形ABCD的对角线CD?AB,求四边形ABCD面积的最大值.
【答案】
44．（2013年高考湖北卷（理））如图,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,
短轴长分别为2m,2n?m?n?,过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记??m,?BDM和?ABN的面积分别为S1和S2. n(I)当直线l与y轴重合时,若S1??S2,求?的值;
(II)当?变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1??S2?并说明理由.
y A B M C O N x D 第21题图
m?1??1n????m??1?1S??S2?m?n???m?n?n【答案】解:(I)1,
解得:??2?1(舍去小于1的根)
x2y2x2y2(II)设椭圆C1:2?2?1?a?m?,C2:2?2?1,直线l:ky?x
aman?ky?x222a?mk2am?22?y?1 ?y??xyA22222am?2?1a?mk?2m?a同理可得,yB?ana?nk222
又??BDM和?ABN的的高相等
?S1BDyB?yDyB?yA??? S2AByA?yByA?yB如果存在非零实数k使得S1??S2,则有???1?yA????1?yB,
22222a??2??1??1?????2???1???1??2?即:2,解得k?
a??2n2k2a2?n2k24n2?3?当??1?2时,k2?0,存在这样的直线l;当1???1?2时,k2?0,不存在这样的直线l.
x2?y2?1上的三个点,O是坐标原点. 45．（2013年高考北京卷（理））已知A、B、C是椭圆W:4(I)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;
(II)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.
x2【答案】解:(I)椭圆W:?y2?1的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB
4相互垂直平分. 所以可设A(1,m),代入椭圆方程得
31. 所以菱形OABC的面?m2?1,即m??24积是
11|OB|?|AC|??2?2|m|?3. 22(II)假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为
y?kx?m(k?0,m?0).
?x2?4y2?4222由?消去y并整理得(1?4k)x?8kmx?4m?4?0. ?y?kx?mx1?x2x1?x24kmy1?y2m,. ???k??m?21?4k2221?4k24kmm所以AC的中点为M(?,).
1?4k21?4k21因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为?.
4k1因为k?(?)??1,所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形,与假设矛盾.
4k设A(x1,y1),C(x2,y2),则
所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形. 46．（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是?PBQ的角平分线, 证明直线l过定点.
【
答
案
】
解:(Ⅰ) A(4,0),设圆心
C
(x,y),MN线段的中点为E，由几何图像知ME?MN,CA2?CM2?ME2?EC22?（x?4)2?y2?42?x2?y2?8x
(Ⅱ) 点B(-1,0), 设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题知y1?y2?0，y1y2?0,y1?8x1,y2?8x2.
22?y1?y2y?y??21?22?8(y1?y2)?y1y2(y2?y1)?0?8?y1y2?0直线PQx1?1x2?1y1?8y2?8方程为:y?y1?y2?y112(x?x1)?y?y1?(8x?y1)
x2?x1y2?y12?y(y2?y1)?y1(y2?y1)?8x?y1?y(y2?y1)?8?8x?y?0,x?1
所以,直线PQ过定点(1,0)
47．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））如图,抛物线
C1:x2?4y,C2:x2??2py?p?0?,点M?x0,y0?在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为
1A,B(M为原点O时,A,B重合于O)x0?1?2,切线MA.的斜率为-.
2(I)求p的值;
(II)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程.?A,B重合于O时,中点为O?.
【答案】